系统开环频率特性的绘制

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,5-3,系统开环频率特性的绘制,系统的开环频率特性在系统的分析与综合中有很,重要的意义，本节将通过一些示例介绍系统的开环频,率特性（包括它的极坐标和伯德图）的绘制方法和步,骤。,自动控制系统通常由若干环节组成，根据它们的,基本特性，可以把系统分解成一些典型环节的串联，,再按照串联的规律将这些典型环节的频率特性组合起,来得到整个系统的开环频率特性。因此，将系统的开,环传递函数分解成若干典型环节的串联形式是绘制系,统开环频率特性的基本步骤。,1,一、绘制系统开环频率特性极坐标图的步骤,将系统开环传递函数分解成若干典型环节的串联形式；,2.典型环节幅频特性相乘得到系统开环幅频特性，,3.典型环节相频特性相加得到系统开环相频特性；,4.如幅频特性有渐近线，则根据开环频率特性表达式的实部和虚部，求出渐近线；,5.最后在,G,(,j,),H,(,j,),平面上绘制出系统开环频率特性的极坐标图。,2,将系统的开环传递函数写成典型环节乘积（即串联）的形式；,如果存在交接频率，在,轴上标出交接频率的坐标位置；,由各串联环节的对数幅频特性叠加后得到系统开环对数幅频特性的渐近线；,修正误差，画出比较精确的对数幅频特性；,画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得到系统开环相频特性。,二、绘制系统开环频率特性伯德图的步骤,3,例5-1,已知系统的开环传递函数为,它由一个放大环节和两个惯性环节串联而成，其对应的频率特性是,幅频特性和相频特性分别为,4,（1）,极坐标图,当 时，,当 时，,当 时，,。,当由零增至无穷大时，幅值由K衰减,至零，相角0,0,变至-180,0,，且均为负相,角。频率特性与负虚轴的交点频率为,，交点坐标是 。,其极坐标图如图5-24所示。,图5-24 开环系统极坐标图,G,5,（2),伯德图,（a）对数幅频特性,由开环传递函数知，对数幅频,特性的渐近线有两个交接频率,和 ，且 ，,将它们,在轴上标出（图5-25）；,在纵坐标上找到,20lgK,的点,A,，,过,A,点作平行于横轴 的直线,AB,，这,条平行线对应放大环节的,幅频特,性；,在交接频率 处作轴的垂线,（虚线）交平行线AB于B点，以B,为起点作斜率为-20dB/dec的斜,线BC，C点对应交接频率 ，折线,ABC对应放大环节K和惯性环节,的叠加；,图5-25,开环系统Bode图,L,6,以C为起点，作斜率为-40dB/dec的斜线CD，折线ABCD即为系统开环对数幅频特性的渐近线。,（b）对数相频特性,在,图5-25,上分别画出三个环节的相频特性曲（图中（1）-放大环节，（2）-惯性环节1和（3）-惯性环节2），然后将它们在纵轴方向上相加得到系统开环相频特性曲线（4）。,例5-2,试绘制传递函数为,（,5-93,）,（,5-94,）,的对数幅频特性。,7,解：,由前面介绍的积分环节的对数幅频特性知，当有n个积分环节串联时，对数幅频特性应是一条过横轴上=1且斜率为-n20dB/dec的直线。式5-93）和（5-94）中分别含有一个和两个积分环节（串联），当不考虑K,V,和K,a,的影响时，它们的对数幅频特性应是过=1 且斜率分别为-0dB/dec和-40dB/dec的直线，如图,5-26,和,图5-27,中虚线所示。考虑到K,V,和K,a,的作，上述两条直线应分别在纵轴方向上平移20lgK,v,和20lgK,a,分贝（如图中实线所示），即=1所对应的坐标值应分别为20lgK,v,和20lgK,a,分贝。设对数幅频特性与零分贝线（横轴）的交点频率值分别为,v,和,a,，则有,(5-95),和,(5-96),8,由上面两式分别得到,（5-97）,（5-98）,通过上面的分析，在绘制传递函数为式（5-93）和（5-94）的对数幅频特,性时，可用下述两种方法之一进行。,图5-26,与 的关系,图5-27,与 的关系,9,方法一,：,对于式（,5-93,），先过横轴上=1点作横轴的垂直线，过纵轴上20lgK,v,点作横轴的平行线，这两条直线交于A点，然后过A点作斜率为-20dB/dec的直线即为所求的对数幅频特性（,图5-26,）；对于式（,5-94,），过横轴上=1 点作横轴的垂线过纵轴上20lgK,a,点作横轴的平行线，这两条直线交于A点，然后过A点作斜率为-40dB/dec的直线即为所求的对数幅频特性（,图5-27,）。,方法二,：,对于式（5-93），先根据式（5-97）在横轴上找到频率为,V,点，过该点作斜率为-20dB/dec的直线即为所求的对数幅频特性（,图5-26,）；对于式（5-94），根据式（5-98）在横轴上找到频率为,a,的点，过该点作斜率为-40dB/dec的直线即为所求的对数幅频特性（,图5-27,）。,10,反之，通过对数幅频特性，也可以用上述两种方法的逆过程，求出式（,5-93,）和式（,5-94,）中的开环放大系数K,v,和K,a,。,对于含有一个或两个积分环节的系统（含有两个以上积分环节的实际系统很少见），由于频率特性的低频段形状主要由积分环节决定，因此，在绘制其对数幅频特性或通过对数幅频特性求系统的开环放大系数时，可用上述两种方法中的一个进行。这在下面的示例中将得到进一步应用。,11,试绘制该系统开环频率特性的极坐标图和伯德图。,解:,系统的开环传递函数可写成,它由一个放大环节、一个积分环节和一个振荡环节串联组成，对应的频率特性表达式为,例5-3,已知系统的开环传递函数为,12,（1）极坐标图,当 时，,当 时，,当 时，,由于系统含有一积分环节，当,0,时，系统的开环幅频特性|,G,(,j,),H,(,j,)|。为使频率特性曲线比较精确，还须求出它的渐近线。由系统的开环频率特性可得,当,0时有,l im,G（j,）H（j）,2,KvT,j,0,即渐近线是一条与实轴交点为,2,KvT,且垂直于实轴的直线，图5-28绘制出该系统在不同阻尼比的渐近线（虚线)及对应开环频率特性的极坐标图。,13,-,0.3K,v,T,0,Re,I,m,-,K,v,T,-,1.7K,v,T,-,3.3K,v,T,-,0.6K,v,T,0,0,0,图528 例53极坐标图,14,（2）伯德图,（a）对数幅频特性,由开环频率特性表达式知，对数幅,频特性的渐近线有一个交接频率 （对,应振荡环节），将它在图,5-29,的横轴上,标出。该系统还含有一个积分节和放大,环节，参照例,5-2,，对数幅频特性的低频,段主要由积分环节和放大环节决定。当,交接频率 时，对数幅频特性如图,5-29 所示，斜率为-20dB/dec的折线段在,频率为,处穿过零分贝线直到,振荡环节的交接频率,处转折为斜率,为-60dB/dec的线段。当交接频率为,时，对数幅频特性如图,5-30,所示，,图,5-29,例5-3 Bode图,1,2,3,15,斜率为-20dB/dec的折线段的延长线（图,中虚线）与横轴交点频率应为,v,，从交,接频率 开始，对数频特性转折成斜率,为-60dB/dec的直线。,(b)对数相频特性,在图,5-29,上分别画出积分环节的相频,特性（1）和振荡环节相频特性（2），然,后将它们在纵轴方向上相加便得到系统开,环相频特性曲线（3）。,例5-4,已知系统的开环传递函数为,试绘制该系统开环频率特性的极坐标图和,伯德图。,图,5-30,例5-3对数幅频特性,16,解 该系统开环传递函数可写成,（5-99）,它由一个放大环节、一个比例微分环节和一个惯性环,节串联组成，其对应的频率特性表达式为,（,5-100,）,幅频特性和相频特性分别是,（5-101）,（5-102）,17,（1）极坐标图,根据幅频特性和相频特性可得到当 和 时的极限值分别为,（5-103）,（5-104）,当 时，；,当 时，；,当 时，。,即当惯性环节时间常数,T,大于比例,微分环节的微分时间常数 时，随着频,率增加，幅值衰减，相角滞后，系统具,有低通性质；反之，当 时，随着频,率增加，幅值加大，相角趋前，系统具,有高通性质；,图,5-31,例5-4极坐标图,18,而当 时，比例微分环节与惯性环节作用相互抵消，系,统只起放大作用。三种情况的极坐标图如图,531,所示。,（）伯德图,由式（,5100,）知，系统开环对数幅频特性渐近线有两个,交接频率和，图,532,(a)、(b)、(c)分别绘制,了当,和 三种情况下的伯德图。,19,图,5-32,例5-4 Bode图,20,解：,该系统的,开环频率特性表达式为,它是由比例、积分、惯性和滞后环节串联组成。如果滞后时间常数很小而可,以忽略不计时，系统的开环幅频和相频特性为,对应的极坐标图和伯德图分别如图,533,和,534,所示。,当滞后环节时间常数较大而不能忽略时，系统的开环幅频特性由于,不受影响，但相频特性须加一滞后相角-57.3 度，即,对应的极坐标图和伯德图分别如图536和537所示。,例55,已知系统的开环传递函数如下，,试绘制系统开环频率特性的极坐标图和伯德图。,21,图,5-34,例5-5 Bode图（无滞后环节）,图,5-33,例5-5极,坐标图,（无滞后环节）,0,-,K,v,T,R,e,I,m,GH,0,22,图5-35 例5-5极坐标图（有滞后环节）,图5-36 例5-5 Bode图（有滞后环节）,23,比较图,5-35,与,5-33,和图5-36与,5-34,，我们会发现由于滞后环节的影响，频率特性的极坐标图对数相频特性曲线形状发生了很显著的变化，它对系统的性能，特别是系统的稳定性将产生很大的影响，有关判别系统稳定性的奈奎斯特判据将在下节介绍，这里不再赘述。,返回,24,