含参变量的常义积分

第十七章 含参变量的常义积分,感谢聆听 祝你成功！,第十七章 含参变量的常义积分,感谢聆听 祝你成功！,第十七章 含参变量的常义积分,感谢聆听 祝你成功！,对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分,它可用来构造新的非初等函数,.,含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式,.,一、含参变量正常积分的定义,四、含参变量正常积分的可积性,三、含参变量正常积分的可微性,二、含参变量正常积分的连续性,一、含参量正常积分的定义,设,是定义在矩形区域,上的,定义在,上以,x,为自变量的一元函数,.,倘若这时,在,上可积,则其积分值,是定义在,上的函数,.,一般地,设,为定义在区域,二元函数,.,当,y,取,上的定值时,函数 是,上的二元函数,其中,c,(,x,),d,(,x,),为定义在,上的连,续函数,(,图,1),若对于,上每一固定的,x,值,作为,y,的函,图,1,含参变量的积分示意图,y,=,c,(,x,),y,=,d,(,x,),x,数在闭区间,上可积,则其积分值,是定义在,上的函数,.,用积分形式,(1),和,(2),所定义的这函数,与,分别称为定义在,c,d,与,a,b,上的含参变量,y,与,x,的,(,正常,),积分,或,简称为,含参变量的积分,.,定理,1,(,),若二元函数,在矩,形区域,上连续,则函数,在,c,d,上连续,.,证,设,对充分小的,(,若,y,为区间的端点,则仅考虑,),于是,二、含参变量正常积分的连续性,由于,在有界闭区域,R,上连续,从而一致连续,即对任意,总存在,对,R,内任意两点,只要,就有,所以,即,I,(,y,),在,上连续,.,同理可证,:,若,在矩形区域,R,上连续,则含参,量,的积分,在,a,b,上连续,.,注,1,对于定理,1,的结论也可以写成如下的形式,:,若,在矩形区域,R,上连续,则对任何,都有,这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极,限运算与积分运算的,顺序是可以交换的,.,为任意区间,(,开的、闭的、半开半闭的、有限或,注,2,由于连续性是局部性质,定理,1,中条件,无限的,),.,定理,2,若二元函数,在区,域,上连续,其,中,c,(,x,),d,(,x,),为,上的连续函数,则函数,在,上连续,(,教材上的定理,3).,证,(,与,教材证明方法不同,),令,当,y,在,c,(,x,),与,d,(,x,),之间取值时,t,在,0,1,上取值,且,所以,由于被积函数,在矩形区域,上连续,由定理,1,得函数,F,(,x,),在,a,b,连续,.,定理,3,(,),若函数,与其偏导,数,都在矩形区域,上连续,则函数,在,上可微,且,三、含参变量正常积分的可微性,证,对于,内任意一点,y,设,(,若,y,为,区间的端点,则讨论单侧函数,),则,由微分学的,Lagrange,中值定理，得,再由,的连续性及定理,1,，令,上连续,a,(,y,),b,(,y,),为定义在,上,定理,4,其值含于,a,b,内的可微函数,则函数,在,上可微,且,证明,(,比教材证明方法简单直观,),把,F,(,y,),看作复合函数,:,由复合函数求导法则及变动上限积分的性质,有,例,1,解,由定理,4,，得,例,2,解,本题直接积分较困难，故采用,“先导后积”,法,注,1,有时当被积函数含有对数函数，用“凑微分”、“分部积分”等常规方法求解较困难时，注意到对数函数的导数是有理函数，便于积分，故采用,“先导后积”,法，是求积分的高级方法,.,注,2,有时积分中无参数，为了计算积分，可以恰当地,“嵌入”,参数,.,*,例,3,计算积分,解,令,上满足定理,3,的条件,于是,因为,显然,且函数 在,【,武汉大学,1984,】,所以,因而,另一方面,所以,注,本题也可令,x,=tan,，,直接积分求出,.,四、含参变量正常积分的可积性,在区域,a,b,；,c,d,上连续，由定理,1,定理,5,若,在矩形区域,上连续,则,证,记,其中,对于,则有,因为,与,都在,D,上连续,由,定理,3,故得,因此对一切,有,当,时,即得,取,就得到所要证明的结论,.,为书写简便起见,今后将上述两个积分写作,与,前者表示,先对,y,求积然后对,x,求积,后者则,表示求积顺序相反,.,它们统称为,累次积分,.,在,连续,则累次积分与求积分顺序无关，即,定理,6,则,例,4,*,求,解,因为,又由于函数,上满足定理,6,的,条件,所以交换积分顺序得到,作 业 布 置,:,P,249250:2;,5(1),(2);,6.,