对数与对数函数

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,要点梳理,1.,对数的概念,（,1,）对数的定义,如果,a,x,=,N,(,a,0,且,a,1),，那么数,x,叫做以,a,为底,N,的对,数，记作,，其中,_,叫做对数的底数,_,叫做真数,.,2.7,对数与对数函数,基础知识 自主学习,a,N,x,=log,a,N,（,2,）几种常见对数,2.,对数的性质与运算法则,（,1,）对数的性质,=_;log,a,a,N,=_(,a,0,且,a,1).,对数形式,特点,记法,一般对数,底数为,a,(,a,0,且,a,1),_,常用对数,底数为,_,_,自然对数,底数为,_,_,e,ln,N,lg,N,log,a,N,10,N,N,（,2,）对数的重要公式,换底公式,:(,a,b,均大于零且不等,于,1),；,推广,log,a,b,log,b,c,log,c,d,=,_.,log,a,d,(3),对数的运算法则,如果,a,0,且,a,1,M,0,N,0,那么,log,a,(,MN,)=_;,=_;,log,a,M,n,=,_(,n,R,);,log,a,M,+log,a,N,log,a,M,-log,a,N,n,log,a,M,3.,对数函数的图象与性质,a,1,0,a,1,时,_,当,0,x,1,时,_,当,0,x,0,y,0,y,0,y,0,1,0,增函数,减函数,4.,反函数,指数函数,y,=,a,x,与对数函数,_,互为反函数，它,们的图象关于直线,_,对称,.,y,=log,a,x,y,=,x,基础自测,1.,（,2009,湖南理）,若,log,2,a,1,b,0 B.,a,1,b,0,C.0,a,0 D.0,a,1,b,0,解析,log,2,a,0=log,2,1,0,a,1.,b,0.,D,2.,已知,log,7,log,3,(log,2,x,)=0,，那么 等于（）,A.B.C.D.,解析,由条件知,log,3,(log,2,x,)=1,log,2,x,=3,x,=8,C,3.,若,a,=0.3,2,b,=log,2,0.3,c,=2,0.3,则,a,b,c,的大小关系是,（）,A.,a,b,c,B.,a,c,b,C.,b,c,a,D.,b,a,c,解析,a,=0.3,2,(0,1),b,=log,2,0.30,c,=2,0.3,(1,+),b,a,1,，函数,f,(,x,)=log,a,x,在区间,a,2,a,上的最大值,与最小值之差为 则,a,等于 （）,A.B.2 C.D.4,解析,根据已知条件,log,a,2,a,-log,a,a,=,整理得：,log,a,2=,则 即,a,=4.,D,5.,函数 的定义域是,_.,解析,要使 有意义,需使,03,x,-21,即,b,c,B.,a,c,b,C.,b,a,c,D.,b,c,a,(1),引入中间量如,“,1,”,或,“,”,比较,.,(2),利用对数函数的图象及单调性,.,解析,a,=log,2,1,a,b,a,c,.,b,c,a,b,c,.,思维启迪,A,探究提高,比较对数式的大小，或证明等式问题是,对数中常见题型，解决此类问题的方法很多,当底,数相同时可直接利用对数函数的单调性比较,;,若底,数不同，真数相同,可转化为同底（利用换底公式）,或利用对数函数图象，数形结合解得；若不同底，,不同真数，则可利用中间量进行比较,.,知能迁移,2,比较下列各组数的大小,.,(1),(2)log,1.1,0.7,与,log,1.2,0.7;,(3),已知 比较,2,b,2,a,2,c,的大,小关系,.,解,（,1,）,log,5,1=0,(2),方法一,00.71,1.1log,0.7,1.1log,0.7,1.2,即由换底公式可得,log,1.1,0.7log,1.2,0.7.,方法二,作出,y,=log,1.1,x,与,y,=log,1.2,x,的图象,.,如图所示两图象与,x,=0.7,相,交可知,log,1.1,0.7,a,c,而,y,=2,x,是增函数，,2,b,2,a,2,c,.,题型三 对数函数的性质,【,例,3,】,已知函数,f,(,x,)=log,a,x,(,a,0,a,1),，,如果对于任意,x,3,，,+),都有,|,f,(,x,)|1,成立，,试求,a,的取值范围,.,当,x,3,，,+),时，必有,|,f,(,x,)|1,成,立,可以理解为函数,|,f,(,x,)|,在区间,3,，,+),上的最,小值不小于,1.,解,当,a,1,时，对于任意,x,3,，,+),都有,f,(,x,)0.,所以,|,f,(,x,)|=,f,(,x,),而,f,(,x,)=log,a,x,在,3,，,+),上为增函数，,对于任意,x,3,，,+),有,f,(,x,)log,a,3.,思维启迪,因此,要使,|,f,(,x,)|1,对于任意,x,3,，,+),都成立,.,只要,log,a,31=log,a,a,即可，,1,a,3.,当,0,a,1,时，对于,x,3,，,+),有,f,(,x,)0,|,f,(,x,)|=-,f,(,x,).,f,（,x,）,=log,a,x,在,3,，,+),上为减函数，,-,f,（,x,）在,3,，,+),上为增函数,.,对于任意,x,3,，,+),都有,|,f,(,x,)|=-,f,(,x,)-log,a,3.,因此，要使,|,f,(,x,)|1,对于任意,x,3,，,+),都成立,只要,-log,a,31,成立即可，,综上,使,|,f,(,x,)|1,对任意,x,3,，,+),都成立的,a,的,取值范围是,(1,，,3,，,1).,本题属于函数恒成立问题，即在,x,3,，,+),时,函数,f,(,x,),的绝对值恒大于等于,1.,恒成,立问题一般有两种思路,:,一是利用图象转化为最值,问题；二是利用单调性转化为最值问题,.,这里函数的,底数为字母,a,因此需对参数,a,分类讨论,.,探究提高,知能迁移,3,(1),设,f,(,x,)=,是奇函数，则使,f,(,x,)0,的,x,的取值范围是 （）,A.(-1,0)B.(0,1),C.(-,0)D.(-,0)(1,+),解析,f,（,x,）为奇函数，,f,（,0,）,=0.,解之，得,a,=-1.,f,(,x,)=,令,f,(,x,)0,，则,x,(-1,，,0).,A,(2),已知,f,(,x,)=log,a,(3-,a,),x,-,a,是其定义域上的增函数,那么,a,的取值范围是 （）,A.(0,1)B.(1,3),C.(0,1)(1,3)D.(3,+),解析,记,u,=(3-,a,),x,-,a,当,1,a,3,时，,y,=log,a,u,在其定义域内为增函数，,而,u,=(3-,a,),x,-,a,在其定义域内为减函数，,此时,f,(,x,),在其定义域内为减函数，不符合要求,.,当,0,a,1,x,2,1,则点,A,、,B,的纵坐标分别为,log,8,x,1,、,log,8,x,2,.,因为,A,、,B,在过点,O,的直线上，,所以,点,C,、,D,的坐标分别为,(,x,1,log,2,x,1,),、,(,x,2,log,2,x,2,),由于,log,2,x,1,=3log,8,x,1,log,2,x,2,=3log,8,x,2,OC,的斜率为,k,1,=,解题示范,2,分,4,分,（,2,）,解,由于,BC,平行于,x,轴，知,log,2,x,1,=log,8,x,2,，,即得,代入,x,2,log,8,x,1,=,x,1,log,8,x,2,得,由于,x,1,1,知,log,8,x,1,0,故,又因,x,1,1,解得,x,1,=,于是点,A,的坐标为,利用函数图象和解析几何的思想方法,突,出了本题的直观性,.,将对数的运算融于几何问题，体,现了数形结合的思想,.,探究提高,OD,的斜率为,k,2,=,由此可知,k,1,=,k,2,即,O,、,C,、,D,在同一直线上,.,6,分,8,分,12,分,知能迁移,4,已知函数,是奇函数,(,a,0,a,1,）,.,(1),求,m,的值；,(2),判断,f,(,x,),在区间,(1,+),上的单调性并加以证明,.,解,（,1,）,f,（,x,）是奇函数，,f,（,-,x,）,=-,f,（,x,）在其定义域内恒成立，,1-,m,2,x,2,=1-,x,2,恒成立，,m,=-1,或,m,=1,（舍去），,m,=-1.,（,2,）由（,1,）得,(,a,0,a,1),任取,x,1,x,2,(1,+).,设,x,1,1,x,2,1,x,1,0,x,2,-10,x,2,-,x,1,0.,t,(,x,1,),t,(,x,2,),即,当,a,1,时，,f,(,x,),在（,1,+,）上是减函数；,当,0,a,0,，且,a,1),与对数函数,y,=log,a,x,(,a,0,且,a,1),互为反函数，应从概念、图象和性质,三个方面理解它们之间的联系与区别,.,3.,明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性,质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象,.,因此要,掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函,数和对数函数的图象,.,一、选择题,1.,（,2009,湖南文，,1,）,的值为 （）,A.B.C.D.,解析,定时检测,D,2.,函数 的反函数是 （）,A.B.,C.D.,解析,x,1,0,x,-1,x,.,A,3.,(2009,辽宁文，,6),已知函数,f,(,x,),满足：当,x,4,时，,当,x,4,时，,f,(,x,)=,f,(,x,+1).,则,f,(2+log,2,3)=,（）,A.B.C.D.,解析,因为,2+log,2,34,故,f,(3+log,2,3)=,A,4.,已知,0,x,y,a,1,m,=log,a,x,+log,a,y,，则有 （）,A.,m,0 B.0,m,1,C.1,m,2,解析,m,=log,a,xy,0,x,y,a,1,0,xy,a,2,log,a,a,2,=2.,D,5.,若函数,f,(,x,),满足：,f,(,x,)=,f,(,x,+2),且当,x,1,，,3,时，,f,(,x,)=|,x,-2|,则方程,f,(,x,)=log,5,x,的实根的个数是（）,A.1 B.2 C.3 D.4,解析,由已知得,f,(,x,),是以,2,为最小正周期的函数，,又,x,1,3,时,f,(,x,)=|,x,-2|,所以其图象如下图所示,.,由于,log,5,5=1,且,y,=log,5,x,是增函数,所以,f,(,x,),的图象与,y,=log,5,x,的图象有且仅有,4,个不同交点，也就是方程,f,(,x,)=log,5,x,有,4,个不同实根,.,D,6.,函数,y,=log,a,|,x,+,b,|(,a,0,a,1,ab,=1),的图象只可能,是 （）,解析,由,a,0,ab,=1,可知,b,0,又,y,=log,a,|,x,+,b,|,的图象关于,x,=-,b,对称，,对称轴,x,1,且,0,a,1,由单调性可知，,B,正确,.,B,二、填空题,7.,(2009,