原函数与不定积分的概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等数学（上）,河海大学理学院,高等数学（上）,河海大学理学院,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 不定积分,高等数学（上）,BTS,总体方案设计报告,第一节 原函数与不定积分的概念,一、原函数与不定积分的概念,定义,1,如果在区间,I,内，可导函数,的导函数为 ，即对 ，都有,或,则就称 为 在区间,I,上的,原函数,.,例如 ，故,问题,1,：原函数的存在性问题,:,原函数,函数,求导,是否存在,定理,1,(,原函数存在定理,),定义在区间,I,上的,连续函数 在,I,上一定有原函数,.,即：连续函数必有原函数,.,问题,2,：原函数的惟一性问题,:,(,待证,),定理,2,如果函数 在区间,I,上的原函数存在,则它的任意两个不同的原函数只,相差一个常数,.,若 为 的原函数，则 的所有,原函数的集合为：,证 若 和 都是 的原函数,（ 为任意常数）,定义,2,若 为 在区间,I,上的原函数，,则称原函数族,（ 为任意常数）,为 在,I,上的,不定积分,，记为,积分号,被积函数,被积表达式,称为积分变量,-,原函数族,例,1,求,.,解,例,2,求,.,解,例,3,设曲线通过点,（,1,，,2,）,，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程,.,解,设曲线方程为 ，,根据题意知,由曲线通过点,（,1,，,2,）,，故有,.,因而，所求曲线方程为,所以,注,（）,的几何意义：考虑曲线（），,使得,则（）,这是一簇由一条积分曲线,沿纵轴上下平移,得到的在横坐标相同的点,处的切线是平行的,(2),由不定积分的定义，可知,结论,微分运算与求不定积分的运算是,互逆,的,.,例如,(1),(2),(3),二、 基本积分表,(5),(12),(13),例,4,求积分,.,解,三、 不定积分的性质,证,等式成立,.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,注,:(1),求积分是利用积分表和积分性质来试,要变形,技巧大,.,设法变形为积分表中函数的线性组合形式,以求出积分的方法称为,直接积分法,.,(2),不是所有函数都肯定能积分出来,.,往往逆运算都要打破原有体系。,例,5,求积分,.,解,例,6,求积分,.,解,例,7,求积分,解,课堂练习,7,、,8,、,二、符号函数,在 内是否存在原函数？为什么？,没有原函数。反证,:,假如有原函数。则,结论,每一个含有,第一类间断点,的函数都没有原函数,.,以上讨论的是跳跃间断点，若,x,0,是可去间断点。,函数,含有第二类间断点,x=0,但它有原函数,.,思考：若第二类呢？,三、 下列正确的是,:,C,四、若,f(x),的导函数是,sinx,则,f(x),的原函数,是,.,sinx + C,1,x + C,2,