回归分析的基本思想及其初步应用(5)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 统计案例,1.1,回归分析的基本思想及其初步应用,线性回归模型,y=,bx+a+e,增加了随机误差项,e,，因变量,y,的值由自变量,x,和随机误差项,e,共同确定，即,自变量,x,只能解析部分,y,的变化,。,在统计中，我们也把自变量,x,称为,解析变量,，因变量,y,为,预报变量,。,我们可以用,相关指数,R,2,来刻画回归的效果，其计算公式是,显然，,R,2,的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。,R,2,越接近,1,，表示回归的效果越好（因为,R,2,越接近,1,，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。,如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较,R,2,的值来做出选择，即,选取,R,2,较大的模型作为这组数据的模型,。,总的来说：,相关指数,R,2,是度量模型拟合效果的一种指标。,在线性模型中，它,代表自变量刻画预报变量的能力,。,1,、残差,数据点和它在回归直线上相应位置的差异 称为相应于点（,x,i,，,y,i,） 的,残差,。,例：编号为,6,的女大学生，计算随机误差的效应（残差）,2,、残差平方和,把每一个残差所得的值平方后加起来，用数学符号表示为：,称为,残差平方和,在例,1,中，残差平方和约为,128.361,。,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高,/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重,/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,残差,-6.373,2.627,2.419,-4.618,1.137,6.627,-2.883,0.382,我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数,据,，或体重估计值等，这样作出的图形称为,残差图,。,表,1-4,列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,使用公式 计算残差,残差图的制作及作用。,坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；,若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；,对于远离横轴的点，要特别注意。,身高与体重残差图,异常点,错误数据,模型问题,几点说明：,第一个样本点和第,6,个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。,另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。,用身高预报体重时，需要注意下列问题：,1,、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；,2,、我们所建立的回归方程一般都有时间性；,3,、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；,4,、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。,事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。,这些问题也使用于其他问题。,一般地，建立回归模型的基本步骤为：,（,1,）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。,（,2,）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。,（,3,）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程,y=,bx+a,）,.,（,4,）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。,（,5,）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。,练习,1,在一段时间内，某中商品的价格,x,元和需求量,Y,件之间的一组数据为：,求出,Y,对,x,的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。,价格,x,14,16,18,20,22,需求量,Y,12,10,7,5,3,解：,练习,1,在一段时间内，某中商品的价格,x,元和需求量,Y,件之间的一组数据为：,求出,Y,对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。,价格,x,14,16,18,20,22,需求量,Y,12,10,7,5,3,列出残差表为,0.994,因而，拟合效果较好。,0,0.3,-0.4,-0.1,0.2,4.6,2.6,-0.4,-2.4,-4.4,练习,2,关于,x,与,y,有如下数据：,有如下的两个线性模型：,（,1,） ；（,2,）,试比较哪一个拟合效果更好。,x,2,4,5,6,8,y,30,40,60,50,70,选用模型（,1,）的拟合效果更好,练,:,某种产品的广告费支出,x,与销售额,y,之间有如表所示数据,:,零件数,X,2,4,5,6,8,加工时间,y(,分钟,),30,40,60,50,70,(1),求,x,y,之间的相关系数,;,(2),求线性回归方程,;,案例,2,一只红铃虫的产卵数,y,和温度,x,有关。现收集了,7,组观测数据列于表中：,（,1,）试建立产卵数,y,与温度,x,之间的回归方程；并预测温度为,28,o,C,时产卵数目。,（,2,）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？,温度,x,o,C,21,23,25,27,29,32,35,产卵数,y,/,个,7,11,21,24,66,115,325,非线性回归问题,假设线性回归方程为 ：,=,bx+a,选 模 型,由计算器得：线性回归方程为,y=,19.87,x,-463.73,相关指数,R,2,=,r,2,0.864,2,=0.7464,估计参数,解：选取气温为解释变量,x,，产卵数,为预报变量,y,。,选变量,所以，一次函数模型中温度解释了,74.64%,的产卵数变化。,探索新知,画散点图,0,50,100,150,200,250,300,350,0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,方案,1,分析和预测,当,x,=28,时，,y =,19.8728-463.73 93,一元线性模型,y=bx,2,+a,变换,y=,bt+a,非线性关系 线性关系,方案,2,选用,y=bx,2,+a,，还是,y=bx,2,+cx+a,？,产卵数,气温,如何求,a,、,b,？,t=x,2,二次函数模型,方案,2,解答,平方变换,：,令,t=x,2,，产卵数,y,和温度,x,之间二次函数模型,y=bx,2,+a,就转化为产卵数,y,和温度的平方,t,之间线性回归模型,y=,bt+a,温度,21,23,25,27,29,32,35,温度的平方,t,441,529,625,729,841,1024,1225,产卵数,y,/,个,7,11,21,24,66,115,325,作散点图，并由计算器得：,y,和,t,之间的线性回归方程为,y=,0.367,t,-202.543,，相关指数,R,2,=0.802,将,t=x,2,代入线性回归方程得：,y=,0.367,x,2,-202.543,当,x,=28,时,，,y,=0.367,28,2,-202.5485,，且,R,2,=0.802,，,所以，二次函数模型中温度解释了,80.2%,的产卵数变化。,t,变换,y=,bx+a,非线性关系 线性关系,产卵数,气温,指数函数模型,方案,3,方案,3,解答,温度,x,o,C,21,23,25,27,29,32,35,z=,lny,1.946,2.398,3.045,3.178,4.190,4.745,5.784,产卵数,y,/,个,7,11,21,24,66,115,325,x,z,当,x=28,o,C,时，,y 44,，,指数回归模型中温度解释,了,98.5%,的产卵数的变化,由计算器得：,z,关于,x,的线性回归方程,为,对数变换：在 中两边取常用对数得,令 ，则,就转换为,z=,bx+a,.,相关指数,R,2,=0.98,最好的模型是哪个,?,产卵数,气温,产卵数,气温,线性模型,二次函数模型,指数函数模型,比一比,函数模型,相关指数,R,2,线性回归模型,0.7464,二次函数模型,0.80,指数函数模型,0.98,最好的模型是哪个,?,作业：,在,7,块并排的、形状大小相同的实验田上进行施,肥量对水稻产量影响的试验，得到如下一组表所示,的数据（单位：,kg,）,施化肥量,x,15,20,25,30,35,40,45,水稻产量,y,330,345,365,405,445,450,455,(1),以,x,为解释变量，,y,为预报变量，作出散点图,(2),求,y,与,x,之间的回归方程，并求施肥量为,28kg,时,的水稻产量的预报值,(3),计算各组残差，并计算残差平方和,(4),求,R,2,，并说明残差变量对产量影响有多大？,练习,3,假设关于某设备的使用年限,x,和所支出的维修费用,y,（万元），有如下的统计资料。,使用年限,x,2,3,4,5,6,维修费用,y,2.2,3.8,5.5,6.5,7.0,若由资料知,y,对,x,呈线性相关关系。试求：,（,1,）线性回归方程 的回归系数 ；,（,2,）求残差平方和；,（,3,）求相关系数 ；,（,4,）估计使用年限为,10,年时，维修费用是多少？,