对数的运算(换底公式)

,对数的运算,(三),教学目的：,（1）理解对数的概念，能够进行对数式与指数式互化；,（2）掌握对数的运算性质；（3）掌握好积、商、幂、方根的对数运算法则，能根据公式法则进行数、式、方程的正确运算及变形，进一步培养学生合理的运算能力；,教学重点：对数的定义、对数的运算性质；,教学难点：对数的概念；,要求学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。,探索：,把左右两列中一定相等的用线连起来,对数的换底公式,证明,：设,由对数的定义可以得：,即证得,这个公式叫做换底公式,其他重要公式1:,其他重要公式2:,证明：设,由对数的定义可以得：,即证得,其他重要公式3:,证明,:由换底公式,取以b为底的对数得：,还可以变形,得,指数、对数方程,问题：已知 2,x,=3，如何求 x 的值？,若已知 log,3,x=0.5,如何求 x 的值？,公式的运用：,利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法；,解法:原式,=,解法:原式,=,例题,2,：计算,的值,分析：先利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再求值；,2.,解：原式,=,已知,求,的值（用,a,，,b,表示）,分析：已知对数和幂的底数都是,18,，所以先将需求值的对数化为与已知对数同底后再求解；,解：,，一定要求,利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起了重要作用，在解题过程中应注意：（1）针对具体问题，选择好底数；（2）注意换底公式与对数运算法则结合使用；（3）换底公式的正用与逆用；,例三、设,求证：,证：,例四、若log,8,3=,p,log,3,5=,q,求 lg 5,解：log,8,3=,p,又,例六、若,求,m,解：由题意：,例1、解方程,：（1）2,2x 1,=8,x,解：原方程化为,2,2x 1,=2,3x,2x 1=3x,x =1,方程的解为,x =1,（2）lg x lg(x 3)=1,解：原方程化为,lg x=lg 10+lg(x 3),lg x=lg 10(x 3),x=10(x 3),经检验，方程的解为,化同底法,例2、解方程,：（1）82,x,=,解：原方程化为 2,x+3,=,(x+3)lg 2=(x,2,9)lg 3,(x+3)(xlg 3 3 lg 3 lg 2)=0,故方程的解为,取对数法,指对互表法,（2）log,(2x 1),(5x,2,+3x 17)=2,解：原方程化为 5x,2,+3x 17=(2x 1),2,x,2,+7x 18=0,x=9 或 x=2,当 x=9 时，2x 1 0,与对数定义矛盾，故舍去,经检验，方程的解为,x=2,例3、解方程：,（1）,解：原方程化为,则有 t,2,4t +1=0,x=1 或 x=1,故方程的解为 x=1 或 x=1.,（2）log,25,x,2log,x,25=1,换元法,解：原方程化为 log,25,x =1,设 t=log,25,x,则有 t,2,t 2=0,t=1 或 t=2,即 log,25,x=1 或 log,25,x=2,x=或 x=625,x=或 x=625,经检验，方程的解为,例4、解方程：log,3,(3,x,1)log,3,(3,x 1,)=2,解：原方程化为,则 t(t 1)=2,故方程的解为,重点归纳,解法,类型,等价式,a、b 0 且 a、b 1，a b，c 为常量,a,f(x),=a,g(x),f(x)=g(x),log,a,f(x)=log,a,g(x),a,f(x),=b,g(x),f(x)lg a=g(x)lg b,log,f(x),g(x)=c,g(x)=f(x),c,pa,2x,+qa,x,+r=0,plg,2,x+qlgx+r=0,pt,2,+qt+r=0,化同底法,指对互表,法,换元法,解对数方程应注意两个方面问题：,(1)验根；,(2)变形时的未知数的范围认可扩大不要缩小.,学生练习：解方程,1、lg x+lg(x 3)=1,2、,3、,4、lg,2,(x+1)2lg(x+1)=3,5、,答案：1、x=5,2、x=,3、x=2,4、x=999 或 x=,5、x=2,积、商、幂的对数运算法则：,如果 a 0，a,1，M 0，N 0,有：,重要公式:,重点归纳,再见,