物理光学18 第十八次课、光衍射基本理论

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十八次课,光衍射基本理论,引言,-,光的衍射,内容,-,光衍射基本理论,*,衍射三要素及衍射问题,*,惠更斯菲涅耳原理,*菲涅耳基尔霍夫衍射公式,*菲涅耳基尔霍夫衍射公式近似,1,S,P,1,P,2,P,3,P,4,(,a,),17,世纪以前，人们认为光是直线传播的,引言 光的衍射,衍射现象图,17,世纪中叶，意大利的格里马第发现光的传播偏离直线的现象。,S,P,3,P,4,P,1,P,2,(,b,),索末菲,(A.Sommerfeld),的定义：,所谓衍射就是“不能用反射或折射来解释的光线对直线光路的任何偏离”。,惠更斯,-,菲涅耳,2,衍射现象中的有,三项基本的要素,。,(1),、由光源,S,发射的光波。其性质可以用光波的波长组成、波面形状、复振幅分布等参量定量描述；,(2),、衍射物,。如果它是二维“屏”状的，其性质可以由屏的,(,复,),振幅透射系数分布描述，不妨称其为衍射屏；,(3),、观察屏,上的“衍射图形”。,通常用光(电)场,的复振幅分布或辐照度分布描述。,衍射问题,原则上是要建立这三项要素之间的定量关系，使得其中任两项已知时，能够求出第三项要素。,衍射的要素及衍射问题,3,S,L,图1 由衍射求像点的辐照度分布,图2 光栅光谱仪：由衍射求光波性质,S,G,S,C,图3 晶体衍射：由衍射求衍射屏性质,4,1,、惠更斯假设,2,、惠更斯,-,菲涅耳原理,惠更斯菲涅耳原理,1、惠更斯假设,“波,前”的概念：,光源在某一时刻发出的光波所形成的波面(等相面)。,1690年，惠更斯在其著作论光中提出假设：“,波前上的每一个面元都可以看作是一个次级扰动中心，它们能产生球面子波,”，并且，“,后一时刻的波前位置是所有这些子波波前的包络面,”。,其中，,“,次级扰动中心”可以看成是一个点光源，又称作“子波源”。,5,对于少数形状简单的波面来说，由此假设可以求出新波面位置，这种方法称为,惠更斯作图法,。,图4 惠更斯作图求球面波传播,D,C,B,E,C,S,E,A,A,B,D,AA,=,BB,=,CC,=,DD,=,EE,=,子波波面的包络面仍是球面，只是半径比大,不难看出，当,是平面时，,也是平面。此时只要在,上任意取三个子波源便可确定新波面,的位置。,6,利用惠更斯假设可以定性地理解小孔衍射,图5 利用惠更斯假设理解小孔衍射,i,利用惠更斯原理无法说明在观察屏上出现亮暗相间的衍射条纹的原因；,也不能定量地确定观察屏上辐照度分布规律；,更根本涉及不到光波波长对衍射传播的影响。因为实验表明，衍射图形的大小和分布是与波长有密切关系的。,7,2,、惠更斯,-,菲涅耳原理,“波前上任何一个未受阻挡的点都可以看作是一个频率(或波长)与入射波相同的子波源；在其后任何一地点的光振动，就是所有这些子波叠加的结果”,。,可见，惠更斯-菲涅耳原理实际上认为惠更斯子波是频率(波长)相同的相干光波，这些子波的传播服从光干涉叠加原理。,根据惠更斯-菲涅耳原理，我们可以建立一个定量计算衍射问题的公式，来描述单色光波在传播途中任意两个面，例如衍射光栏面,和观察面,上光场分布之间的关系。,我们从平面波开始一步步引出这个关系。为方便计，不考虑电场振动的方向，认为在衍射过程的光波是标量波。,标量波衍射理论,8,M,r,P,图6 平面波正入射,平面波正入射,设入射波在,面处的复振幅为,A,，为复常量。,M,处面元为,在,P,点产生的振动为：,是一个复比例系数，表征入射波振幅与子波源源强度之间的关系。,称为“方向因子”，用来表明子波在各个方向上有不同的强弱。,菲涅耳曾假定：,D,的值在01之间；,为避免出现倒退波，并假定,D,(0)=1和,是入射波的空间圆频率。,是入射波圆频率。,r,是,M,至,P,的距离。,在单色波入射的情形下，各个子波在任意地点随时间变化的规律是相同的，所以可以只考虑,M,对,P,的复振幅贡献即可。,P,点的合成复振幅为：,(1),式中积分域,上的开口区域。,9,S,M,r,P,r,0,球面波入射,S,为单色点光源，源强度为,A,。,取子波源所在的波前为与,点相交的球面，令,S,=,r,0,。,则上的入射波复振幅为：,于是,P,点的复振幅为：,(2),是光栏开口允许通过的波面部分。,问题：,K,和 的具体形式是什么？,10,菲涅耳基尔霍夫衍射公式,1882年，基尔霍夫利用亥姆霍兹方程进行分析，其工作结果认为：空间任意一点的电磁场，可以用包围该点的任意封闭曲面上的电磁场及其导数求出，其形式如下：,(3),E,(,P,)是,P,点的电场；,公式(3)表明的规律称为“,亥姆霍茨-基尔霍夫定理,”。,亥姆霍茨-基尔霍夫公式中的有关的几何量,S,P,r,n,k,是简谐波的传播数。,S,是包围,P,点的封闭曲面。,11,(3),亥姆霍茨-基尔霍夫公式中的有关的几何量,S,P,r,n,是基尔霍夫选取的格林函数：,曲面,S,内任意一点,P,处的电场,E,(,P,)则由,S,上所有面元发出的子波干涉叠加来确定。,n,P,R,r,Q,S,0,单色点光源,S,0,照射无限大不透明的有开孔的屏上。,12,n,P,R,r,Q,S,0,(3),(4),为了确定三个面上,E,和,E,/,n,，,基尔霍夫作了如下假设,：,(1)、在,面上的开口处，,E,、,E,/,n,都完全取决于入射波性质，不受衍射光栏的影响；,(2)、在,面上的挡光部分，,E,、,E,/,n,均等于零。,基尔霍夫边界条件,索末菲辐射条,件：,13,n,P,R,r,Q,S,0,基尔霍夫衍射积分公式,点光源,S,0,发射的光波在开孔处的复振幅分布。,格林函数，表示,Q,处面元发射的子波对P点的贡献。,复常数,K,：,方向因子：,14,基尔霍夫衍射积分公式：,可以被化简和推广,傍轴近似：,在实际的衍射问题中，衍射孔径的线度远远小于衍射孔径平面到观察屏的距离；,光源和考察面的有效面积对衍射孔径的张角很小。,对于实际衍射装置：,照明光源是各不相同的，有的是点光源、有的是线光源，而有的则是很复杂的光源，因而光波是复杂的，最简单的是平面波和球面波。,衍射物体也是不同的，有的是透明的，有的是反射的，因而对光波的调制特性，有振幅调制型，有位相调制型。,15,把任意形状的入射波在平面上的表达式简化成,。,把任意性质的衍射物体的复振幅透射(对于反射物体，为反射)系数写成：,衍射问题模型,M,r,P,(,x,，,y,),(,x,，,y,),d,于是透过衍射物体(或被衍射物体反射)的光波复振幅为：,根据实际情况可知，透射(反射)系数只在有限的空间范围是有限的，则有：,16,衍射问题模型,M,r,P,(,x,，,y,),(,x,，,y,),d,可以看出：子波源取自平面，各子波源的源强度为,KA,(,，,),d,，其中的幅角部分表示子波源的初位相。,也可以看出：观察点,P,处的一个光场振动是由衍射面上衍射孔径附近的一个向,P,点会聚的球面波,S,所贡献。,因此只要找出在离开衍射孔径的“复杂”简谐波,A,(,，,)中所含的球面波,S,成分，便可求得,E,(,P,)。,换言之，衍射问题被转化成将,A,(,，,)分解成许多球面波问题。,只要观察点,P,不非常靠近衍射屏，并且方向因子基本为常数，则由它计算得到的衍射图形总能很好地与实验相符合。,17,(,一,)、,菲涅耳近似、菲涅耳衍射和夫琅和费近似、夫琅和费衍射,(二)、傅立叶变换的存在,内容,菲涅耳基尔霍夫衍射公式近似,18,(,一,)、,菲涅耳近似、菲涅耳衍射和夫琅和费近似、夫琅和费衍射,r,M,x,P,0,z,y,P,d,衍射问题中的直角坐标系统,P,(,x,、,y,、,d,),一般的情况，观察点到衍射光栏的距离总是远大于光栏开口的大小以及观察范围的大小，这样：,可直接用,d,代替。,由此引入的相对误差是：,19,被积函数指数上的,r,却不能直接近似成,d,。,因为,kr,表示波的位相，当用,d,代替,r,时，引入的绝对位相误差为：,尽管：,但是：,考虑到复指数函数是周期为2 的函数，这种误差显然不能接受。,这里我们人为地以位相误差为2 的四分之一，即 /2作为可以接受的最大误差。,20,展开式右端各项的数量级是依次递减的。当以展开式的前两项代替位相中的,r,时，这种近似称为“,菲涅耳近似,”。,由此引入的位相误差为：,我们的人为约定以 作为可以接受的最大误差，则菲涅耳近似成立的条件是：,即：,21,在菲涅耳近似下，基尔霍夫公式变为：,称为,菲涅耳衍射积分公式,。,此式表示的条件称为,衍射的菲涅耳近似,。,满足菲涅耳近似条件的衍射称为,菲涅耳衍射,。,菲涅耳近似成立的区域称为,菲涅耳衍射区,。,r,M,x,P,0,z,y,P,d,在,上观察到的就是,菲涅耳衍射条纹,。,辐照度,L,(,x,y,)为：,衍射区范围的估计：如果光波波长,=0.6m，(,x,-,),2,+(,y,-,),2,的最大值为6mm,2,，则可算出观察面与衍射面之间的最近距离为：,d,min,31mm,22,进一步略去右端最后一项，变成：,r,的菲涅耳近似展开式为：,这个近似称作“,夫琅和费近似,”。,该近似引入的位相误差为：,因此，该近似成立的条件为：,即：,对于波长为600nm的光波，如果衍射光栏开口的最大值是2mm,2,，则由上式可算得在夫琅和费近似下观察面,与衍射面之间的最近距离为：,d,min,6,700mm=6.7m,23,在夫琅和费近似下，基尔霍夫公式变为：,同,“,菲涅耳衍射,”,一样，如果满足夫琅和费近似条件，将出现“,夫琅和费衍射,”现象，观察到“,夫琅和费衍射图形,”，相应的观察区域为“,夫琅和费衍射区,”。,我们希望将积分域从形式上扩展到整个衍射屏平面。,所以衍射积分公式中的积分域可以写成是整个平面。,因为：,相应地，对夫琅和费衍射有“夫琅和费衍射公式”：,为方便计，以后一般不再标明积分限。,于是有“菲涅耳衍射公式”：,24,“菲涅耳衍射公式”：,“夫琅和费衍射公式”：,都包含着一个线性复指数因子：,(二)、傅立叶变换的存在,令,：,则有：,不难看出，它代表一个空间频率为(,f,，,f,)的三维简谐平面波，而在傅立叶分析中，它正是二维傅立叶变换的核。,这样，衍射问题便与数学上的二维傅立叶变换联系起来了。,25,令：,再令：,“菲涅耳衍射公式”的,傅立叶变换,形式。,复令：,“夫琅和费衍射公式”的,傅立叶变换,形式。,26,可见衍射问题可以采用傅立叶变换的方法来处理。,这样不仅可以直接借助傅立叶变换的性质和有关定理，简化计算过程；,而且可以用傅立叶分析的观点来解释衍射图形的形成，加深对衍射本质的认识。,衍射屏物体出射面上的复振幅，可看作复杂波。,对于菲涅耳衍射也可以有类似理解，此时透过衍射物体的复杂波可分解为一系列球心位置各不相同的简谐球面波，在菲涅耳观察屏平面上，各个球面波在空间不能分离，观察面上任意一点,P,(,x,，,y,),的菲涅耳衍射就是各个球面波贡献量的相干叠加。,这个复杂波在传播过程中分解为一系列空间频率为为(,f,，,f,)、复振幅密度为,a,(,f,，,f,)的三维简谐平面波，当这些传播方向不同的简谐平面到达观察屏平面上相干叠加形成衍射图样。,27,作业：4.2,28,