线性代数居余马第6章二次型

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第6章 二次型,6.1,二次型的定义和矩阵表示 合同矩阵,其中系数是数域,F,中的数，叫做数域,F,上的,n,元二次型（简称二次型）。实数域上的二次型简称实二次型。,定义6.1,n,元变量,x,1,x,2,x,n,的二次齐次多项式,如果令,a,ji,=a,ij,(1,i0(,i,=1,p+q,),p+q,n,成立，,则,p,和,q,是由,A,唯一确定的。,证,由秩(,A,)=,秩(,C,T,A,C,)=,p+q,知,p+q=r,由,A,唯一确定。,设实二次型,f,=,x,T,A,x,经坐标变换,x=By,和,x,=,C,z,(1),(,B,C,都可逆)分别化为标准形,f=,b,1,y,1,2,+,+b,p,y,p,2,b,p,+1,y,P+,1,2,-,b,r,y,r,2,(2),f=c,1,z,1,2,+,+,c,t,z,t,2,c,t+,1,z,t+,1,2,c,r,z,r,2,(3),(,b,i,c,i,0,i=,1,r,),用反证法：假设,pt,，,此时由(1),(2)可得,f,=,b,1,y,1,2,+,+b,t,y,t,2,+,b,t+1,y,t+,1,2,+,+,b,p,y,p,2,b,p,+1,y,p+,1,2,b,r,y,r,2,=,c,1,z,1,2,+,+,c,t,z,t,2,c,t+,1,z,t+,1,2,c,p,z,p,2,c,p+,1,z,p+,1,2,c,r,z,r,2,(5),为了从(4)式中找到矛盾，,令,z,1,=,z,2,=,=,z,t,=0,y,p,+1,=,=,y,n,=0，,代入(5),得到,y,1,y,2,y,n,的方程组,(6),齐次线性方程组(6)有,n,个未知量，但方程个数为,t+,(,n,p,),=n,(,p,t,),0 (7),将(6)的非零解代入(5)式得到,z,1,z,t,z,n,的一组值,（其中,z,1,=z,2,=,=z,t,=0），,将它们再代入(4)式，又得,f,=,c,t,+1,z,t,+1,2,c,p,z,p,2,c,r,z,r,2,0,(8),(7),(8),二式显然是矛盾的，,故假设的,pk,不能成立,，必有,p,k,齐次线性方程组(6)有,n,个未知量，但方程个数,0(,i,=1,p+q,),。取可逆阵,则,则,C,T,A C,=,diag(,1,1,1,1,0,0),若,n,阶实对称矩阵,A,与,B,合同,，,也称对应的,二次型,x,T,A,x,和,x,T,B,x,合同。,注意：一个实对称矩阵,A,的合同规范形是唯一的。,两个,n,阶实对称矩阵,A,和,B,合同的充分必要条件是它们的正、负惯性指数分别相等，或正惯性指数与秩分别相等；,全体,n,阶实对称矩阵按其合同规范形分类（不考虑+1，,1,0,的排列次序）可以划分为(,n,+1)(,n,+2)/2,类。因为秩,r,=0,时，有,1,类；,r,=1,时，有2类；,r,=2,时，有3类;,，,r,=,n,时，有,n,+1,类。共有1+2+3+,+,(,n+,1),类。,6.4 正定二次型和正定矩阵,在多元微积分中我们知道二元函数,在点（0，0）是否有极大(小)值，就是看它在（0，0）,的邻域内是否恒正(负)。一般,n,元二次型是否,恒正(负)的,问题，就是,二次型的正定问题。,定义6.4,如果,n,元实二次型,f,(,x,1,x,2,x,n,)=,x,T,A,x，,x=,(,x,1,x,2,x,n,),0,(,x,R,n,)，,恒有,x,T,A,x,0，,就,称,x,T,A,x,为,正定二次型,；,称矩阵,A,为正定矩阵。,(1),n,元实二次型(标准形),f=,(,x,1,x,2,x,n,),=d,1,x,1,2,+d,2,x,2,2,+,+d,n,x,n,2,正定的充分必要条件是,d,i,0 (,i,=1,2,n,),。,充分性是显然的，可用反证法证明必要性：设存在,d,i,0，,取,x,i,=1,x,j,=0(,j,i),，,便有,f,(0,0,1,0,0)=,d,i,0,。,这与二次型正定相矛盾。,由定义可得：,(2),对二次型,f,=,x,T,A,x,做,坐标变换,x,=,C,y,（,C,为可逆矩阵），,化为,f,=,y,T,(,C,T,A,C,),y，,其,正定性不变。,这是因为：,y,0,0,，,相应的,x,0,=,C,y,0,0,（,否则,x,0,=,0,，,则,y,0,=,C,1,x,0,=,0,)，,于是由,f,=,x,T,A,x,的正定性，即得,f,=,y,0,T,(,C,T,A,C,),y,0,=,x,0,T,A,x,0,0,，,即,y,0,T,(,C,T,A,C,),y,0,正定，反之亦然。,所以，对二次型做坐标变换化为,d,1,x,1,2,+d,2,x,2,2,+,+d,n,x,n,2,，,即,A,合同于对角矩阵,C,T,A,C,=diag(,d,1,d,2,d,n,),时,，,由,d,i,0,（,i,=1,2,n,）,即可判别,A,为正定矩阵。,定理6.4,对于,n,阶实对称矩阵,A,，,下列命题等价：,(1),x,T,A,x,是正定二次型（或,A,是正定矩阵）；,(2),A,的正惯性指数为,n,，,即,A,I,；,(3),存在可逆矩阵,P,，,使得,A,=,P,T,P,；,(4),A,的,n,个特征值,1,2,n,都大于零。,证,(1),(2)即对正定二次型,x,T,A,x,做坐标变换所化成的相,合规范形必为,x,T,A,x,=,y,1,2,+y,2,2,+,+y,n,2,，即,p=n,且,A,I,。,(2),(3),存在可逆阵,C,使得,C,T,AC=I,，,得,A,=(,C,T,),1,C,1,令,P,=,C,1,，,则,P,T,=(,C,T,),1,于是,A,=,P,T,P,。,(3),(4),设,A,x,=,x,(,x,0,),得 (,P,T,P,A,),x,=,x,从而有,x,T,P,T,P,x,=,x,T,x,即,(,P,x,P,x,)=,(,x,x,),由,P,是可逆矩阵和,x,0,得,P,x,0,，,特征值,(4),(1)对于,n,元实二次型,x,T,A,x,，,存在正交变换,x,=,Q,y,使得,x,T,A,x,=,1,y,1,2,+,2,y,2,2,+,+,n,y,n,2,。,由,1,n,都大于零，即得,x,T,A,x,是正定二次型。,(3),存在可逆矩阵,P,，,使得,A,=,P,T,P,；,(4),A,的,n,个特征值,1,2,n,都大于零。,例,证明：,若,A,是正定矩阵，则,A,1,也是正定矩阵。,证,正定矩阵是满秩的实对称矩阵，所以，,A,可逆，且,(,A,1,),T,=(,A,T,),1,=,A,1,，,即,A,1,也是实对称矩阵。证,A,1,正定:,方法,：用定义,。对二次型,x,T,A,1,x,做坐标变换,x,=,A,y,，,得,x,T,A,1,x,=,y,T,A,T,A,1,A,y,=,y,T,A,y,由,y,T,A,y,正定，可知,x,T,A,1,x,也正定，故,A,1,是正定矩阵。,方,法,：,由,A,I,即存在可逆阵,C,使得,C,T,A C=I,两边求逆,得(,C,1,),A,1,(,C,1,),T,=,I,即,D,T,A,1,D,=,I,(,其中,D,=,C,1,),T,故,A,1,I,，,因此,A,1,是正定的。,方,法,：,由,A,正定,则存在可逆阵,P,使得,A,=,P,T,P,于是,A,1,=,P,1,(,P,1,),T,=,S,T,S,(,其中,S,=(,P,1,),T,）,因此,A,1,也正定。,方法,：,设,A,x,=,x,(,x,0,),，得,A,1,x,=,1,x,(,x,0,)。,由于,A,的,n,个特征值都大于零，所以,A,1,的,n,个特征值,1,也都大于零,。,故,A,1,正定。,例,判断三元二次型,显然,f,(,x,1,x,2,x,3,),0，,等号成立当且仅当,解法,：用配方法得,的特征多项式为,I,A,=(,1)(,1),2,1/2，,特征值,是否是正定二次型。,解法,：二次型的对应矩阵,都大于零，,所以二次型正定。,从而判定,f,(,x,1,x,2,x,3,),是正定的。,例3,判别三元二次型,是否是正定二次型。,f,(1,1,0)=3+1,4=,0,解法1：,观察,故,f,不,是正定的。,解法2,二次型的对应矩阵,I,A,=(,1)(,2,6,3),=0,特征值,的特征方程,故,f,不,是正定的。,定理6.5,若,n,元二次型,x,T,A,x,正定，则,(1),A,的主对角元,a,ii,0 (,i,=1,2,n,)；,(2),A,的行列式,det,A,0。,证,(1)因,x,T,A,x,正定，取第,i,个分量,x,i,=1,其余分量为0的向,量，,x,i,=(0,0,1,0,0)，,则有,x,i,T,A,x,i,=,a,ii,x,i,2,=a,ii,0(,i,=1,n,)。,(2),因,A,正定，存在可逆矩阵,P,，,使得,A,=,P,T,P,，,从而,A,=,P,T,P,=,P,2,0,或根据正定矩阵,A,的特征值都大于零，得,A,=,1,2,n,0。,根据定理,，,A,B,C,都不是正定的。,A,=0,，,B,0,，,C,中,c,11,0(,k,=1,n,)。,必要性得证。,对一切,x,k,0,成立。,故,x,1,x,k,的,k,元二次型,由于,C,1,2,A,=,A,n,-1,b,0,A,n,-1,0，,即得,b,0。,取,于是，,对,n,1,元二次型成立；对,n,元二次型，将,A,分块为,其中,=(,a,1,n,a,2,n,a,n,-1,n,),T,根据定理6.4，只需证明,A,I,*,充分性：,对,n,作数学归纳法。当,n,=1时，,a,11,0,x,T,A,x,=,a,11,x,1,2,0,(,x,1,0,),，故充分性成立。,假设,充分性,根据归纳假设,A,n,-1,正定，故存在,n,1,阶可逆矩阵,G,，,使得,再取,例如，用定理6.6 判别矩阵,D,的正定性，其中,解,所以，,D,不是正定的。,故,A,I,，,A,正定。,例4,证明：,若,A,是,n,阶正定矩阵，则存在正定矩阵,B,，,使得,A,=,B,2,。,证,因为正定矩阵,A,是实对称矩阵，所以存在正交阵,Q,（,Q,T,Q,=,I,），,使得,A,=,Q,(diag(,1,2,n,),Q,T,其中,i,0(,i=,1,2,n,),。利用,diag(,1,2,n,)=,则,A,=,B,2,。,B,的特征值都大于0，所以,B,正定。,B,通常记作,*6.5,其他有定,二次型,定义6.5,如果,x,=(,x,1,x,n,),T,0,，,恒有二次型,(1),x,T,A,x,0,但至少存在一个,x,0,0，,使得,x,0,T,A,x,0,=,0，,则称,x,T,A,x,为,半正定二次型,，,A,为半正定矩阵；,(2),x,T,A,x,0，,则称,x,T,A,x,为,负定二次型，,A,为负定矩阵；,(3),x,T,A,x,0，,但至少存在一个,x,0,0，,使得,x,0,T,A,x,0,=,0，,则称,x,T,A,x,为,半负定二次型，,A,为半负定矩阵。,正定、半正定、负定、半负定二次型统称为有定,二次型。,不是,有定的二次型,，,就称为不定二次型。,例如,，,x,T,A,x,二次型经坐标变换,正(负)定性、半正(负)定性,及不定性都不变。,当,d,i,0 (,i,=1,2,n,),时，是负定的；,当,d,i,0 (,i,=1,2,n,),且,至少有一个为0 时是,半正定；,当,d,i,0 (,i,=1,2,n,),且,至少有一个为0 时是,半负定。,若,A,为负定(,半负定,)矩阵，则(,A,),为,正,定(,半正定,)矩阵。,定理6.7,设,A,为,n,阶实对称矩阵,，,则下列命题,等价：,(1),x,T,A