5.2 中心极限定理

课件制作：应用数学系,概率统计课程组,概率论与数理统计,5.2,中心极限定理,定理,1,独立同分布的中心极限定理,设随机变量序列,相互,独立，服从同一分布，且有期望和方差：,则对于任意实数,x,注：,则,Y,n,为,的标准化随机变量,.,即,n,足够大时，,Y,n,的分布函数近似于标准正态,随机变量的分布函数,记,近似,近似服从,定理,2,李雅普诺夫,(,Liapunov,),定理,设随机变量序列,相互,独立，且有有限的期望和方差：,记,若,则对于任意实数,x,定理,3,德莫佛,拉普拉斯中心极限定理,（,DeMoivre-Laplace,）,设,Y,n,B,(,n,p,),0,p,1,n=,1,2,则对任一实数,x,，,有,即对任意的,a,b,Y,n,N,(,np,np,(1,-p,)(,近似,),正态分布的概率密度的图形,x,m,m,+,s,m,-,s,二项分布的随机变量可看作许多相互独立的,0-1,分布的随机变量之和,下面是当,x,-,B,(20,0.5),时,x,的概率分布图,普阿松分布相当于二项分布中,p,很小,n,很大的分布,因此,参数,l,=,np,当很大时也相当于,n,特别大,这个时候普阿松分布也近似服从正态分布,下面是,l,=30,时的普阿松概率分布图,.,例,1,设有一大批种子，其中良种占,1/6.,试估计,在任选的,6000,粒种子中，良种所占比例与,1/6,比较上下不超过,1%,的概率,.,解,设,X,表示,6000,粒种子中的良种数,则,X B,(6000,1/6),中心极限定理的应用,近似,比较几个近似计算的结果,用中心极限定理,用二项分布,(,精确结果,),用,Poisson,分布,用,Chebyshev,不等式,例,2,某车间有,200,台车床，每台独立工作，开工,率为,0.6.,开工时每台耗电量为,r,千瓦,.,问供,电所至少要供给这个车间多少电力,才能以,99.9%,的概率保证这个车间不会因供电不足,而影响生产？,解,设至少要供给这个车间,a,千瓦的电力,设,X,为,200,台车床的开工数,.,X B,(200,0.6),问题转化为求,a,使,X,N,(120,48)(,近似,),由于将,X,近似地看成正态分布，故,反查标准正态函数分布表，得,令,解得,(,千瓦,),例,3,检查员逐个地检查某种产品,每检查一只,产品需要用,10,秒钟,.,但有的产品需重复检,查一次，再用去,10,秒钟,.,假设产品需要重,复检查的概率为,0.5,求检验员在,8,小时内,检查的产品多于,1900,个的概率,.,解,检验员在,8,小时内检查的产品多于,1900,个,即检查,1900,个产品所用的时间小于,8,小时,.,设,X,为检查,1900,个产品所用的时间,(,单位：,秒,),设,X,k,为检查第,k,个产品所用的时间,(,单位：秒,),k=,1,2,1900,X,k,P,10 20,0.5,0.5,相互独立,且同分布,解法二,1900,个产品中需重复检查的个数,例,4,对敌人的防御工事用炮火进行,100,次轰击,设每次轰击命中的炮弹数服从同一分布,其,数学期望为,2,均方差为,1.5.,如果各次轰击,命中的炮弹数是相互独立的,求,100,次轰击,(1),至少命中,180,发炮弹的概率,;,(2),命中的炮弹数不到,200,发的概率,.,解,设,X,k,表示第,k,次轰击命中的炮弹数,相互独立，,设,X,表示,100,次轰击命中的炮弹数,则,(1),(2),例,5,售报员在报摊上卖报,已知每个过路人在,报摊上买报的概率为,1/3.,令,X,是出售了,100,份,报时过路人的数目，求,P,(280,X,320,).,解,令,X,i,为售出了第,i,1,份报纸后到售出第,i,份报纸时的过路人数,i,=1,2,100,(,几何分布,),相互独立,中心极限定理的意义,在实际问题中，若某随机变量可以看,作是有相互独立的大量随机变量综合作用,的结果，每一个因素在总的影响中的作用,都很微小，则综合作用的结果服从正态分,布,.,练习,2,(,2001,年数学四考研试题十一题,),一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重,50,千克，标准差为,5,千克。若用最大载重量为,5,吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于,0.977.,(,(2)=0.977,，其中,(x),是标准正态分布的分布函数,),练习,1(,2002,年数学四考研试题,),设随机变量 相互独立，,则根据列维,-,林德贝格中心极限定理，当,n,充分大时，近似,服从正态分布，只要,().,有相同的数学期望,(B),有相同的方差,(C),服从同一指数分布,(D),服从同一离散型分布,作业,*,补充：设某农贸市场某种商品每日的价格的变化是均值为,0,，方差为,2,=2,的随机变量，即,其中,Y,n,是第,n,天该商品的价格。如果今天的价格为,100,，求,18,天后该商品的价格在,96,与,104,之间的概率。,