西北工业大学计算方法课件第一章绪论nwpu

,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second Level,Third Level,Fourth Level,Fifth Level,计算方法讲义,教 材：,计算方法，计算方法课程组,作 业：,计算方法作业集（,A,、,B,）,参考书：,1,、封建湖，车刚明，计算方法典型题分析解集（第二版），西北工业大学出版社，,2001.,2,、封建湖，聂玉峰，王振海，数值分析导教导学导考，西北工业大学出版社，,2003.,课时数：,32,第一章 绪 论,内容提要,1.1,引言,1.2,误差的度量与传播,1.3,数值试验与算法性能比较,1.1,引言,提出实际问题,辨析其中的主要矛盾和次要矛盾，并在合理假设的条件下，运用各种数学理论、工具和方法，建立起问题中不同量之间的联系 ，即得到数学模型。,建立数学模型,模型的适定性,:,数学模型解的存在性（模型内部没有蕴含矛盾）、惟一性（模型是完备的,),以及对原始数据具有的连续依赖性统称为模型的适定性,.,科学与工程计算过程：,提出数值问题,数值问题是指有限个输入数据（问题的自变量、原始数据）与有限个输出数据（待求解数据）之间函数关系的一个明确无歧义的描述。这正是数值分析所研究的对象。,数值问题举例,是用一阶常微分方程初值问题表示的数学模型，要求无穷多个输出，因而它不是数值问题 。但当我们要求出有限个点处函数值的近似值时，便成为一数值问题。,设计高效可靠的算法,计算方法的任务之一就是提供求得数值问题近似解的方法,算法。,算法：,指把对数学问题的解法归结为只有加、减、乘、除等基本运算，并确定运算次序的完整而准确的描述。,算法分类,:,分类方法,1,：若算法包含有一个进程则称其为,串行算法,，否则为,并行算法,。,分类方法,2,：从算法执行所花费的时间角度来讲，若算术运算占绝大多数时间则称其为,数值型算法,，否则为,非数值型算法,。,本课程介绍数值型串行算法。（其它类型算法参阅数据结构、并行算法等课程。）,算法的可靠性,：算法的可靠性包括算法的收敛性、稳定性、误差估计等几个方面。,这些是数值分析研究的第二个任务。,一个算法在保证可靠的大前提下再评价其优劣才是有价值的。,算法的优劣评价,：可靠算法的优劣，应该考虑其,时间复杂度,（计算机运行时间）、,空间复杂度,（占据计算机存储空间的多少）以及,逻辑复杂度,（影响程序开发的周期以及维护）。,这是数值分析研究的第三个任务,。,例,1,例,2,秦九韶算法,算法应用状态,计算方法研究对象以及解决问题方法的广泛适用性，著名流行软件如,Maple,、,Matlab,、,Mathematica,等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。,但由于实际问题的具体特征、复杂性， 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。,科学与工程计算过程小结,提出实际问题,建立数学模型,提出数值问题,设计可靠、高效的算法,程序设计、上机实践计算结果,计算结果的可视化,在具体问题的求解过程中，上述步骤形成一个循环。,科学计算（数值模拟）已经被公认为与理论分析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。,鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几个方面问题的求解算法：,函数的插值和曲线拟合,数值积分和数值微分,线性方程组求解、非线性方程（组）求解,代数特征值问题,常微分方程数值解法,本课程主要内容,本课程的学习方法,尽管我们所学算法有限，但许多仍有学多学生会觉得公式多，理论分析复杂。我们提出如下的几点学习方法，仅供初学者参考。,1,、以算法的理论分析为基础，理解记忆公式。,2,、搞清各章问题的基本提法,算法提出的背景。,3,、理解每个算法建立的数学背景、数学原理和基本线索，熟练掌握最基本的算法。,4,、从各种算法的理论分析中学习推理证明方法，提高推理证明能力。,5,、认真进行数值计算的训练。,1.2,误差的度量与传播,内容提要：,一、误差的来源,二、误差的度量,三、误差的传播,一、误差来源及其分类,1),模型误差（描述误差）,反映实际问题有关量之间的计算公式（数学模型）通常是近似的。,2,）观测误差,数学模型中包含的某些参数是通过观测得到的。,在计算方法中不研究这两类误差，总是假定数学模型是正确合理的反映了客观实际问题,。,3,）截断误差（方法误差）,数值方法精确解与待求解模型的理论分析解之间的差异。,这是由于我们需要将无穷过程截断为有限过程，而使得算法必须在有限步内执行结束而导致的。,例如：,4,）舍入误差,在实现数值方法的过程中，由于计算机表示,浮点数采用的是有限字长，因而仅能够区分有限,个信息，准确表示某些数，不能准确表示所有实,数，这样在计算机中表示的原始输入数据、中间,计算数据、以及最终输出结果必然产生误差，称,此类误差为舍入误差。,如利用计算机计算,e,的近似值,e,n,时，实际上,得不到,e,n,的精确值，只能得到,e,n,的近似,e,*,；这样,e,*,作为,e,的近似包含有,舍入误差,和,截断误差,两部,分：,二、误差的度量,绝对误差,相对误差,有效数字,各种度量之间的关系,1.,绝对误差,绝对误差定义：准确值减近似值,绝对误差限：,2.,相对误差,Remark,:,绝对误差限虽然能够刻划对同一真值不同近似的好坏，但它不能刻划对不同真值近似程度的好坏 。,3.,有效数字,为了规定一种近似数的表示法，使得用它表示的近似数自身就直接指示出其误差的大小。为此需要引出有效数字和有效数的概念。,有效数,：当,x,*,准确到末位，即,n=p,，则称,x,*,为,有效数,。,举例：,x=, x,1,*,=3.141, x,2,*,=3.142,3,位有效数字，非有效数,4,位有效数字，有效数,Remark1,:,有效数的误差限是末位数单位的一半，可见有效数本身就体现了误差界。,Remark2,:,对真值进行四舍五入得到有效数。,Remark3,:,准确数字有无穷多位有效数字。,Remark4,:,从实验仪器所读的近似数（最后一为是估计位）不是有效数，估计最后一位是为了确保对最后一位进行四舍五入得到有效数。,例,从最小刻度为厘米的标尺读得的数据,123.4cm,是为了得到有效数,123.cm,读得数据,156.7cm,是为了得到有效数,157.cm,。,4.,误差度量间的联系,绝对误差与相对误差,绝对误差与有效数字,相对误差与有效数字,定理证明,证毕,Remark,1,、该定理实质上给出了一种求相对误差限的方法。,2,、仅从 并不能保证,x,*,一定具有,n,位有效数字。如,设其近似值,a=0.484,，其相对误差为：,我们并不能由此断定,a,有两位有效数字，因为,例题,解：,三、误差的传播,概念,：近似数参加运算后所得之值一般也是近似值，含有误差，将这一现象称为,误差传播,。,误差传播的表现：,算法本身可能有截断误差；,初始数据在计算机内的浮点表示一般有舍入误差；,每次运算一般又会产生新的舍入误差，并传播以前各步已经引入的误差；,误差有正有负，误差积累的过程一般包含有误差增长和误差相消的过程，并非简单的单调增长；,运算次数非常之多，不可能人为地跟踪每一步运算,。,初值误差传播：假设每一步都是准确计算，即不考虑截断误差和由运算进一步引入的舍入误差，,仅介绍初始数据的误差传播规律。,研究方法：,泰勒（,Taylor,）方法,n,元函数,复习泰勒公式,泰勒公式分析初值误差传播,相对误差：,进而得到如下绝对误差限和相对误差限传播关系：,对于一元函数，有如下初值误差传播近似计算公式：,二元函数算术运算误差传播规律,绝对误差限,相对误差限,尽量避免相近的数相减,例,x=52.127 x,*,=52.129,四位有效数字,y=52.123 y,*,=52.121,四位有效数字,A=,x-y,=0.004 A,*,=x,*,-y,*,=0.008,零位有效数字,结论：避免相近数相减,1.3,数值试验与算法性能比较,一些避免相近数相减示例,当,|x|1,时,当,|x|1,时,两种算法的相对误差图比较,尽可能避免绝对值很小的数做分母，防止出现溢出。,当,a,b,中有近似值时，由,若 ，则 可能很大。当,a,b,都是准确,值时，由于 很大，会使其它较小的数加不到,中而引起严重误差，或者会发生计算机“溢出”，导致计算无法进行下去。,算例,用不同位数的浮点数系统求解如下线性方程组,算法,1,：顺序消去法，分别保留,4,位和,7,位小数进行计算；,算法,2,：将第,1,个和第,2,个方程交换次序后，使用消去法分别保留,4,位和,7,位小数进行计算；,准确解：,算例,算法,1a,0.0000,0.10,10,1,0.5000,0.25,10,7,算法,2a,0.2500,0.75,10,7,0.5000,0.25,10,7,算法,1b,0.2600000,0.40,10,1,0.4999987,0.10,10,6,算法,2b,0.2500020,0.50,10,8,0.5000000,0.25,10,7,计算结果,选用数值稳定性好的算法,。,定义,：一个算法,如果在运算过程中舍入误差在一定条件下能够得到控制,或者舍入误差的增长不影响产生可靠的结果,则称该算法是数值稳定的,否则称其为数值不稳定,.,例：计算如下积分近似值的两种方案比较,方法,1,：,方法,1,计算结果,方法一结果分析,方法一分析：计算结果表明,舍入误差的传播近似依,5,的幂次进行增长,因而是一种不稳定的方法。,方法二：,由此分析知，该方法是稳定的。关于初值的近似可由下面式子得到：,方法,2,计算结果,总之,除了算法的正确性之外,在算法设计中至少还,应,:,1,尽量避免两个相近的近似数相减,;,2,合理安排量级相差很大的数之间的运算次序,防止大数,吃掉,小数,;,3,尽可能避免绝对值很小的数做分母,;,4,防止出现溢出,;,5,简化计算步骤以减少运算次数,;,6,选用数值稳定性好的算法,.,本章知识结构图,本章典型例题,例,1:,指出如下有效数的有效数字位数并计算绝对误差限和相对误差限。,解,: 1,）,x,*,有,2,位有效数字，,绝对误差限为：,相对误差限为：,2,）,y,*,有,3,位有效数字，,绝对误差限为：,相对误差限为：,3,）,z,*,有,5,位有效数字，,绝对误差限为：,相对误差限为：,解,:,由题意知，近似数,x,*,的绝对误差限 ，相对误差限 。,例,2:,已知 试求 的相对误差限。,注意：此处正好有：,解,:,例,3:,已知桌子长宽近似值 ，并且已知 ，求近似面积 的绝对误差限和相对误差限。,例,4:,下列公式如何变形才能使数值计算得到比较精确的结果。,