中国矿业大学 环境与测绘学院 《应用大地测量学》王中元第五章 地球椭球与测量计算

第 五 章 地 球 椭 球与 测 量 计 算 1、基础知识椭球的几何特征；地球椭球及其定位；椭球面上的弧长计算。2、地面观测元素化算至椭球面3、椭球面上大地坐标的计算问题1 2 3 4 5A1 NA2(B1,L1)平面坐标计算球面坐标计算(x1,y1) 第 五 章 地 球 椭 球 及 椭 球 面 上 的 计 算 第 五 章 地 球 椭 球 及 椭 球 面 上 的 计 算 5.1 地 球 椭 球 及 其 定 位 应 用 大 地 测 量 学 测 量 的 外 业 工 作 主 要 是 在 地 球 表 面 进 行 的 ， 或 者 说主 要 是 对 地 球 表 面 进 行 观 测 的 ， 由 于 地 球 表 面 不 是 一 个规 则 的 数 学 曲 面 ， 在 其 上 面 无 法 进 行 严 密 的 测 量 计 算 。因 此 ， 需 要 寻 求 一 个 大 小 和 形 状 最 接 近 于 地 球 的 规 则 形体 地 球 椭 球 ， 在 其 表 面 完 成 测 量 计 算 工 作 。 用 椭 球来 表 示 地 球 必 须 解 决 2个 问 题 ：一 是 椭 球 参 数 的 选 择 (椭 球 的 大 小 和 形 状 )； 二 是 确 定 椭 球 与 地 球 的 相 关 位 置 ， 即 椭 球 的 定 位 (椭 球与 大 地 水 准 面 包 围 的 大 地 体 应 当 最 密 合 )。 5.1 地 球 椭 球 及 其 定 位 应 用 大 地 测 量 学 具 有 一 定 几 何 参 数 ， 经 过 定 位 ， 在 全 球 范 围 内 与 大地 体 最 为 接 近 、 密 合 最 好 的 椭 球 称 为 地 球 椭 球 。 在 某 一 地 区 与 大 地 水 准 面 密 合 最 好 的 椭 球 ， 称 为 参考 椭 球 。 5.1 地 球 椭 球 及 其 定 位 应 用 大 地 测 量 学 5.1.1 椭 球 的 几 何 参 数 及 其 关 系 5.1.2 垂 线 偏 差 及 其 基 本 公 式 5.1.3 椭 球 定 位 5.1 地 球 椭 球 及 其 定 位 应 用 大 地 测 量 学 5.1.1 椭 球 的 几 何 参 数 及 其 关 系 5.1.2 垂 线 偏 差 及 其 基 本 公 式 5.1.3 椭 球 定 位 5.1.1 椭 球 的 几 何 参 数 及 其 关 系 应 用 大 地 测 量 学 应 用 大 地 测 量 学偏 心 距 ： 第 一 偏 心 率 ： （ 5-1）第 二 偏 心 率 ： 扁 率 ： （ 5-2） 椭 球 长 半 径 a， 短 半 径 b 5.1.1 椭 球 的 几 何 参 数 及 其 关 系22 ba 应 用 大 地 测 量 学a、 b、 e、 e 之 间 的 关 系 ： （ 5-3） （ 5-4） （ 5-5） 5.1.1 椭 球 的 几 何 参 数 及 其 关 系 2211 eba eab 2 2 11 eee eee 22 2 ffe 应 用 大 地 测 量 学克 拉 索 夫 斯 基 椭 球 1980国 家 大 地 坐 标 系 WGS-84a 6378245 6378140 6378137b 6356863.01877 6356755.28816 6356752.3142e2 0.00669342162297 0.00669438499959 0.00669437999013 e 2 0.0067385254468 0.00673950181947 0.00673949674227f 1:298.3 1:298.257 1:298.257223563几 种 椭 球 几 何 参 数 5.1.1 椭 球 的 几 何 参 数 及 其 关 系 5.1 地 球 椭 球 及 其 定 位 应 用 大 地 测 量 学 5.1.1 椭 球 的 几 何 参 数 及 其 关 系 5.1.2 垂 线 偏 差 及 其 基 本 公 式 5.1.3 椭 球 定 位 5.1.2 垂 线 偏 差 及 其 基 本 公 式 应 用 大 地 测 量 学垂 线 偏 差 地 面 一 点 上 ， 铅 垂 线 方 向 和 相 应 的 椭 球 面 法线 方 向 之 间 的 夹 角 u 。垂 线 偏 差 u的 分 量 子 午 圈 分 量 和 卯 酉 圈 分 量 计 算 公 式 ： （ 5-7） （ 5-8） cos)( LB secLB 5.1.2 垂 线 偏 差 及 其 基 本 公 式 应 用 大 地 测 量 学 天 文 方 位 角 与 大 地 方 位 角 之 间 的 关 系 式 ： （ 5-14） （ 5-15） 以 上 公 式 称 为 拉 普 拉 斯 方 程 式 。 sin)( LA tanA 5.1.2 垂 线 偏 差 及 其 基 本 公 式 应 用 大 地 测 量 学 椭 球 短 轴 与 地 球 某 一 固 定 历 元 的 地 轴 不 平 行 ， 起 始 大地 子 午 面 和 起 始 天 文 子 午 面 也 不 平 行 ， 将 产 生 欧 拉 角 ， 设为 。 此 时 垂 线 偏 差 公 式 （ 5-8） 及 拉 普 拉 斯 方程 式 （ 5-15） 扩 展 为 ： （ 5-16） 上 式 称 为 广 义 垂 线 偏 差 和 拉 普 拉 斯 方 程 。ZYX , ZYXAL 0secsinseccos 1tansincos 0cossintansecB 5.1 地 球 椭 球 及 其 定 位 应 用 大 地 测 量 学 5.1.1 椭 球 的 几 何 参 数 及 其 关 系 5.1.2 垂 线 偏 差 及 其 基 本 公 式 5.1.3 椭 球 定 位 5.1.3 椭 球 定 位 应 用 大 地 测 量 学 椭 球 定 位 将 一 定 参 数 的 椭 球 与 大 地 体 的 相 关 位 置固 定 下 来 ， 确 定 测 量 计 算 基 准 面 的 具 体 位 置 和 大 地 测 量 起算 数 据 。 包 括 ： 定 位 和 定 向 两 方 面 。 定 位 是 指 确 定 椭 球 中 心 的位 置 ， 定 向 是 指 确 定 该 椭 球 坐 标 轴 的 指 向 。 从 数 学 上 讲 就是 要 确 定 三 个 平 移 参 数 和 三 个 旋 转 角度 。 椭 球 定 位 三 个 条 件 ：（ 1） 椭 球 短 轴 与 某 一 指 定 历 元 的 地 球 椭 球 自 转 轴 平 行 ；（ 2） 起 始 大 地 子 午 面 与 起 始 天 文 子 午 面 相 平 行 ；（ 3） 在 一 定 区 域 范 围 内 ， 椭 球 面 与 大 地 水 准 面 （ 或 似 大 地 水 准 面 ） 最 为 密 合 。 ),( 000 ZYX),( ZYX 5.1.3 椭 球 定 位 应 用 大 地 测 量 学 椭 球 定 位 通 过 大 地 原 点 的 天 文 观 测 实 现 。 对 于 大 地 原 点 ：B0= 0- 0L0= 0- 0sec 0A0= 0- 0tan 0H0= H0常 + 0 初 期 定 位 时 ， 0， 0， 0未 知 ， 可 取 为 0。 称 为 一 点 定 位 。 根 据 大 地 测 量 和 天 文 测 量 数 据 ， 在 条 件 下 ， 求出 原 点 的 0， 0， 0值 。 称 为 多 点 定 位 。 第 五 章 地 球 椭 球 及 椭 球 面 上 的 计 算 第 二 节 椭 球 面 上 法 截 线 曲 率 半 径 应 用 大 地 测 量 学法 截 面 包 含 曲 面 一 点 法 线 的 平 面 。法 截 线 法 截 面 与 曲 面 的 截 线 。斜 截 线 不 包 含 法 线 的 平 面 与 椭 球 面 的 截 线 。子 午 圈 包 含 短 轴 的 平 面 与 椭 球 面 的 交 线 。卯 酉 圈 与 椭 球 面 上 一 点 子 午 圈 相 垂 直 的 法 截 线 ， 为 该点 的 卯 酉 圈 。平 行 圈 垂 直 于 短 轴 的 平 面 与 椭 球 面 的 交 线 。 应 用 大 地 测 量 学 5.2.1 卯 酉 圈 曲 率 半 径 5.2.2 子 午 圈 曲 率 半 径 5.2.3 任 意 方 向 的 法 截 线 曲 率 半 径 5.2.4 平 均 曲 率 半 径 5.2.5 曲 率 半 径 的 数 值 计 算 公 式 5.2 椭 球 面 上 法 截 线 曲 率 半 径 应 用 大 地 测 量 学 5.2.1 卯 酉 圈 曲 率 半 径 5.2.2 子 午 圈 曲 率 半 径 5.2.3 任 意 方 向 的 法 截 线 曲 率 半 径 5.2.4 平 均 曲 率 半 径 5.2.5 曲 率 半 径 的 数 值 计 算 公 式 5.2 椭 球 面 上 法 截 线 曲 率 半 径 5.2.1 卯 酉 圈 曲 率 半 径 应 用 大 地 测 量 学TW yC PP EEG QQ OVOU KKN ss B B B+90N =b xr xrr a 应 用 大 地 测 量 学BNr cos 5.2.1 卯 酉 圈 曲 率 半 径 微 分 几 何 中 麦 尼 厄 定 理 ： （ 5-19） （ 5-26） （ 5-23） W又 称 第 一 基 本 纬 度 函 数 ， V称 为 第 二 基 本 维 度 函 数 。VcWaN 222 22 1cos1 sin1 BeV BeW 应 用 大 地 测 量 学 5.2.1 卯 酉 圈 曲 率 半 径 5.2.2 子 午 圈 曲 率 半 径 5.2.3 任 意 方 向 的 法 截 线 曲 率 半 径 5.2.4 平 均 曲 率 半 径 5.2.5 曲 率 半 径 的 数 值 计 算 公 式 5.2 椭 球 面 上 法 截 线 曲 率 半 径 5.2.2 子 午 圈 曲 率 半 径 应 用 大 地 测 量 学- dxdrE DC KBBMMdB 33 2)1( VcW eaM （ 5-30） 5.2.2 子 午 圈 曲 率 半 径 应 用 大 地 测 量 学表 M、 N随 B变 化 的 规 律 B N M 说 明B=0 N0=a M0= a(1-e2) 在 赤 道 上 ， N为 赤道 半 径 a， M小 于赤 道 半 径 a0 B90 aNc a(1-e2)Mc 此 间 N、 M均 随 B的增 大 而 增 大B=90 在 极 点 ， 卯 酉 圈变 为 子 午 圈 椭 球 面 上 任 一 点 处 的 法 截 线 中 ， 卯 酉 圈 曲 率 半 径 达 到最 大 值 ， 而 子 午 圈 曲 率 半 径 最 小 。 因 此 ， 任 一 点 的 卯 酉 圈和 子 午 圈 的 切 线 方 向 ， 就 是 椭 球 面 在 该 点 的 主 方 向 ， 其 曲率 半 径 N和 M称 为 该 点 的 主 曲 率 半 径 。 由 于 椭 球 面 上 任 一点 处 的 平 行 圈 与 卯 酉 圈 有 公 共 切 线 ， 所 以 ， 经 线 和 纬 线 上 每 一 点 的 切 线 也 都 是 椭 球 面 在 该 点 主 方 向 。 应 用 大 地 测 量 学 5.2.1 卯 酉 圈 曲 率 半 径 5.2.2 子 午 圈 曲 率 半 径 5.2.3 任 意 方 向 的 法 截 线 曲 率 半 径 5.2.4 平 均 曲 率 半 径 5.2.5 曲 率 半 径 的 数 值 计 算 公 式 5.2 椭 球 面 上 法 截 线 曲 率 半 径 5.2.3 任 意 方 向 的 法 截 线 曲 率 半 径 应 用 大 地 测 量 学AMAN MNR A 22 sincos ABe NANRA 22222 coscos1cos1 5.2.3 任 意 方 向 的 法 截 线 曲 率 半 径 应 用 大 地 测 量 学 公 式 （ 5-33） 可 以 看 出 ， 任 意 方 向 A的 法 截 线曲 率 半 径 RA， 不 仅 与 纬 度 B有 关 ， 还 与 该 点 的 法截 线 的 大 地 方 位 角 A有 关 。 法 截 线 的 特 性 ： （ 1） 相 对 于 主 方 向 对 称 位 置 的 法 截 线 具 有 相同 的 曲 率 半 径 。 （ 2） 椭 球 面 上 任 一 点 相 互 垂 直 的 两 个 法 截 线曲 率 之 和 为 固 定 值 ， 且 等 于 两 个 主 方 向 曲 率 之 和 。 应 用 大 地 测 量 学 5.2.1 卯 酉 圈 曲 率 半 径 5.2.2 子 午 圈 曲 率 半 径 5.2.3 任 意 方 向 的 法 截 线 曲 率 半 径 5.2.4 平 均 曲 率 半 径 5.2.5 曲 率 半 径 的 数 值 计 算 公 式 5.2 椭 球 面 上 法 截 线 曲 率 半 径 5.2.4 平 均 曲 率 半 径 应 用 大 地 测 量 学 22 21 VcW eaR MNR 应 用 大 地 测 量 学 5.2.1 卯 酉 圈 曲 率 半 径 5.2.2 子 午 圈 曲 率 半 径 5.2.3 任 意 方 向 的 法 截 线 曲 率 半 径 5.2.4 平 均 曲 率 半 径 5.2.5 曲 率 半 径 的 数 值 计 算 公 式 5.2 椭 球 面 上 法 截 线 曲 率 半 径 5.2.5 曲 率 半 径 的 数 值 计 算 公 式 应 用 大 地 测 量 学 第 五 章 地 球 椭 球 及 椭 球 面 上 的 计 算 应 用 大 地 测 量 学 5.3.1 子 午 圈 弧 长 计 算 5.3.2 平 行 圈 弧 长 计 算 5.3 椭 球 面 上 弧 长 计 算 应 用 大 地 测 量 学 5.3.1 子 午 圈 弧 长 计 算 5.3.2 平 行 圈 弧 长 计 算 5.3 椭 球 面 上 弧 长 计 算 应 用 大 地 测 量 学1、 计 算 B=0到 B的 子 午 圈 弧 长 X由 M=dX/dB（ 5-27） 得 ： 将 （ 5-37） 代 入 上 式 ， 从 0到 B积 分 ， 可 得 X。 可 知 ， X是 B的 函 数 。 见公 式 (5-41)。 注 意 ： 将 不 同 的 椭 球 参 数 代 入 得 相 应 的 子 午 圈 弧 长 计算 式 。 5.3.1 子 午 圈 弧 长 计 算 应 用 大 地 测 量 学2、 计 算 已 知 纬 度 B1和 B2之 间 的 子 午 圈 弧 长 X（ 1） 分 别 计 算 0到 B1和 0到 B2之 间 的 子 午 圈 弧 长 X1和 X2，然 后 求 X=X2-X1；（ 2） 用 上 述 积 分 式 求 B1 B2之 间 的 子 午 圈 弧 长 X。 5.3.1 子 午 圈 弧 长 计 算 应 用 大 地 测 量 学 5.3.1 子 午 圈 弧 长 计 算 5.3.2 平 行 圈 弧 长 计 算 5.3 椭 球 面 上 弧 长 计 算 5.3.2 平 行 圈 弧 长 计 算 应 用 大 地 测 量 学 平 行 圈 是 一 个 半 径 等 于 r=NCOSB的 圆 ， 纬 度 B处 经 度L1 L2之 间 的 平 行 圈 弧 长 经 度 差 相 同 ， 纬 度 不 同 的 平 行 圈 ， 弧 长 不 同 。 纬 度 越高 ， 单 位 经 度 差 点 平 行 圈 弧 长 越 短 。 用 于 计 算 中 、 小 比 例 尺 地 形 图 中 两 条 子 午 圈 和 两 条 平行 圈 所 包 围 的 椭 球 面 面 积 。 第 五 章 地 球 椭 球 及 椭 球 面 上 的 计 算 应 用 大 地 测 量 学 5.4.1 相 对 法 截 线 5.4.2 大 地 线 及 其 特 征 5.4.3 大 地 线 微 分 方 程 和 克 莱 劳 方 程 5.4.4 地 面 观 测 方 向 归 算 至 椭 球 面 5.4.5 地 面 观 测 距 离 归 算 至 椭 球 面 5.4.6 椭 球 面 上 的 三 角 形 解 算 5.4 地 面 观 测 值 归 算 至 椭 球 面 应 用 大 地 测 量 学 5.4.1 相 对 法 截 线 5.4.2 大 地 线 及 其 特 征 5.4.3 大 地 线 微 分 方 程 和 克 莱 劳 方 程 5.4.4 地 面 观 测 方 向 归 算 至 椭 球 面 5.4.5 地 面 观 测 距 离 归 算 至 椭 球 面 5.4.6 椭 球 面 上 的 三 角 形 解 算 5.4 地 面 观 测 值 归 算 至 椭 球 面 5.4.1 相 对 法 截 线 应 用 大 地 测 量 学 CK=NsinB， （ 5-22） 代 入 （ 5-21） 得 ：所 以 ： （ 5-43） 上 式 说 点 的 纬 度 不 同 ， 其 法 线 与 短 轴 的 交 点 到 椭 球 中 心之 间 的 距 离 不 等 ， 纬 度 越 高 ， 交 点 到 椭 球 中 心 的 距 离 越 长 。TW yC PP EEG QQ OVOU KKN ss B B B+90N =b xr xrr a BeNyOC sin)1( 2 BNeBeNBNOK sinsin)1(sin 22 5.4.1 相 对 法 截 线 应 用 大 地 测 量 学 设 Q1和 Q2两 点 既 不 在 同 一 平 行 圈 上 ， 也 不 在 同 一 子 午圈 上 ， 它 们 的 法 线 Q1n1和 Q2n2不 相 交 。 法 截 线 Q1m1Q2和Q2m2Q1称 为 两 点 间 的 相 对 法 截 线 。 正 法 截 线 与 反 法 截 线 。 一 般 不 重 合 。 应 用 大 地 测 量 学令 Bm=45 ， A=45 ， 不 同 距 离 S求 得 的 值 为 ： S 100km 0.042 60km 0.015 30km 0.004 在 长 距 离 的 测 量 中 ， 对 向 观 测 所 得 3个 内 角 不 能 组 成闭 合 三 角 形 ， 需 在 两 点 间 选 择 一 条 单 一 曲 线 大 地 线 。 5.4.1 相 对 法 截 线 应 用 大 地 测 量 学 5.4.1 相 对 法 截 线 5.4.2 大 地 线 及 其 特 征 5.4.3 大 地 线 微 分 方 程 和 克 莱 劳 方 程 5.4.4 地 面 观 测 方 向 归 算 至 椭 球 面 5.4.5 地 面 观 测 距 离 归 算 至 椭 球 面 5.4.6 椭 球 面 上 的 三 角 形 解 算 5.4 地 面 观 测 值 归 算 至 椭 球 面 5.4.2 大 地 线 及 其 特 征 应 用 大 地 测 量 学1、 大 地 线 曲 面 上 两 点 间 的 最 短 曲 线 。 （ 或 ： 大 地 线是 曲 面 上 的 一 条 曲 线 ， 该 曲 线 上 每 一 点 处 的 密 切 平 面 都 包含 曲 面 在 该 点 的 法 线 。 K dds s 2211 PPP BA 线法 曲 面切 平 面密 切 平 面 31 =B EL DK 5.4.2 大 地 线 及 其 特 征 应 用 大 地 测 量 学2、 大 地 线 几 何 特 征（ 1） 一 般 情 况 下 ， 曲 面 上 的 曲 线 并 不 是 大 地 线 （ 如 球 面上 的 小 圆 ） 。 大 地 线 相 当 于 椭 球 面 上 两 点 间 的 最 短 程 曲 线 。（ 2） 大 地 线 与 相 对 法 截 线 间 的 夹 角 为 = /3。（ 3） 大 地 线 与 相 对 法 截 线 间 的 长 度 之 差 甚 微 ， 600km时 二者 之 差 仅 为 0.007mm。（ 4） 两 点 位 于 同 一 条 子 午 圈 上 或 赤 道 上 ， 则 大 地 线 与 子午 圈 、 赤 道 重 合 。 应 用 大 地 测 量 学 5.4.1 相 对 法 截 线 5.4.2 大 地 线 及 其 特 征 5.4.3 大 地 线 微 分 方 程 和 克 莱 劳 方 程 5.4.4 地 面 观 测 方 向 归 算 至 椭 球 面 5.4.5 地 面 观 测 距 离 归 算 至 椭 球 面 5.4.6 椭 球 面 上 的 三 角 形 解 算 5.4 地 面 观 测 值 归 算 至 椭 球 面 5.4.3 大 地 线 微 分 方 程 和 克 莱 劳 方 程 应 用 大 地 测 量 学大 地 线 的 解 析 特 性 表 述 dB、 dL、 dA与 dS的 关 系 ： 大 地 线 的 三 个 微 分 方 程 ： 21- +cos=r ro90K MT NNN L LS PP PP BBB Bd d dddAd AAA 应 用 大 地 测 量 学大 地 线 的 解 析 特 性 表 述 dB、 dL、 dA与 dS的 关 系 ： 大 地 线 的 克 莱 劳 方 程 ： rsinA=C（ C为 常 数 ） 对 于 椭 球 面 上 一 大 地线 而 言 ， 每 点 处 平 行 圈半 径 与 该 点 处 大 地 线 方位 角 正 弦 的 乘 积 是 一 个 常 数 （ 大 地 线 常 数 ） 。克 劳 莱 定 理 5.4.3 大 地 线 微 分 方 程 和 克 莱 劳 方 程 应 用 大 地 测 量 学 5.4.1 相 对 法 截 线 5.4.2 大 地 线 及 其 特 征 5.4.3 大 地 线 微 分 方 程 和 克 莱 劳 方 程 5.4.4 地 面 观 测 方 向 归 算 至 椭 球 面 5.4.5 地 面 观 测 距 离 归 算 至 椭 球 面 5.4.6 椭 球 面 上 的 三 角 形 解 算 5.4 地 面 观 测 值 归 算 至 椭 球 面 5.4.4 地 面 观 测 方 向 归 算 至 椭 球 面 应 用 大 地 测 量 学 5.4.4 地 面 观 测 方 向 归 算 至 椭 球 面 应 用 大 地 测 量 学1、 垂 线 偏 差 改 正 1 将 地 面 测 站 点 铅 垂 线 为 基 准 的 观 测 方 向 换 算 成 椭 球 面上 以 法 线 为 准 的 观 测 方 向 ， 其 改 正 数 1为 ： （ 5-51）例 ： A=0 ， tan =0.01， = =5 ， 则 1=0.05 。 垂 线 偏 差 改 正 数 的 大 小 主 要 取 决 于 测 站 点 的 垂 线 偏 差和 观 测 方 向 的 天 顶 距 （ 或 垂 直 角 ） 。 仅 在 国 家 一 、 二 等 三角 测 量 计 算 中 ， 才 规 定 加 入 此 项 改 正 。 tan)cossin( cot)cossin(1 AA zAA 应 用 大 地 测 量 学 椭 球 上 两 点 不 在 同 一 子 午 面 或 同 一 平 行 圈 上 ， 过 两 点 多 法 线 不 共面 ， 照 准 点 B高 出 椭 球 面 某 一 高 度 H2， 使 得 在 A点 照 准 B点 的 法 截 线Ab 与 Ab之 间 有 一 夹 角 2。 （ 5-52）B2 照 准 点 的 大 地 纬 度 ；A1 测 站 点 至 照 准 点 的 大 地 方 位 角 ； H2 照 准 点 高 出 椭 球 面 的 高 程 ；M1 测 站 点 子 午 圈 曲 率 半 径 。例 ： A1=45 ， B2=45 ， H2=2000m， 1=0.1局 部 地 区 的 控 制 测 量 一 般 不 必 考 虑 此 项 改 正 。 5.4.4 地 面 观 测 方 向 归 算 至 椭 球 面 应 用 大 地 测 量 学 将 椭 球 面 上 法 截 线 方 向 换 算 为 大 地 线 方 向所 加 的 为 截 面 差 改 正 数 3。例 ： A1=45 ， Bm=45 ， S=30km 3=0.001 截 面 差 改 正 主 要 与 测 站 点 至 照 准 点 间 的 距 离 有 关 。 只 有 在 国 家 一 等 三 角 测 量 计 算 中 ， 才进 行 改 正 。 5.4.4 地 面 观 测 方 向 归 算 至 椭 球 面 应 用 大 地 测 量 学 5.4.1 相 对 法 截 线 5.4.2 大 地 线 及 其 特 征 5.4.3 大 地 线 微 分 方 程 和 克 莱 劳 方 程 5.4.4 地 面 观 测 方 向 归 算 至 椭 球 面 5.4.5 地 面 观 测 距 离 归 算 至 椭 球 面 5.4.6 椭 球 面 上 的 三 角 形 解 算 5.4 地 面 观 测 值 归 算 至 椭 球 面 5.4.5 地 面 观 测 距 离 归 算 至 椭 球 面 应 用 大 地 测 量 学设 A、 B两 点 的 大 地 高 分 别 为 H1为 H2， h=H2-H1， d为 空 间 直 线 长 。由 三 角 形 AOB按 余 弦 公 式 可 得 ： 弦 长 （ 5-55） （ 4-28） （ 4-31）弧 长 应 用 大 地 测 量 学 5.4.1 相 对 法 截 线 5.4.2 大 地 线 及 其 特 征 5.4.3 大 地 线 微 分 方 程 和 克 莱 劳 方 程 5.4.4 地 面 观 测 方 向 归 算 至 椭 球 面 5.4.5 地 面 观 测 距 离 归 算 至 椭 球 面 5.4.6 椭 球 面 上 的 三 角 形 解 算 5.4 地 面 观 测 值 归 算 至 椭 球 面 5.4.6 椭 球 面 上 的 三 角 形 解 算 应 用 大 地 测 量 学目 的 将 方 向 观 测 值 和 起 算 边 长 归 算 到 椭 球 面 上 后 ， 在 椭 球 面 上 解算 未 知 边 长 。方 法 一 ： 按 球 面 三 角 形 解 算 公 式 ： 方 法 二 ： （ 勒 让 德 定 理 ） 将 球 面 三 角 形 改 化 为 对 应 边 相 等 的 平 面 三 角形 ， 按 平 面 三 角 公 式 解 算 三 角 形 求 得 球 面 边 长 。球 面 三 角 形 球 面 角 超 =（ A0+B0+C0） -180 = /R2 ， 为 三角 形 面 积 。 A1=A0- /3， B1=B0- /3，C1=C0- /3。 第 五 章 地 球 椭 球 及 椭 球 面 上 的 计 算 应 用 大 地 测 量 学 5.5.1 概 述 5.5.2 勒 让 德 级 数 式 5.5.3 高 斯 平 均 引 数 正 解 公 式 5.5.4 高 斯 平 均 引 数 反 解 公 式 5.5 椭 球 面 上 大 地 问 题 解 算 应 用 大 地 测 量 学 5.5.1 概 述 5.5.2 勒 让 德 级 数 式 5.5.3 高 斯 平 均 引 数 正 解 公 式 5.5.4 高 斯 平 均 引 数 反 解 公 式 5.5 椭 球 面 上 大 地 问 题 解 算 5.5.1 概 述 应 用 大 地 测 量 学 大 地 问 题 正 解 已 知 P1点 大 地 坐 标 （ B1， L1） 、 P1P2大 地 线 长 S和 大 地 方 位 角 A1，推 求 P2点 大 地 坐 标 （ B2， L2）和 大 地 方 位 角 A2。 大 地 问 题 反 解 已 知P1P2两 点 的 大 地 坐 标 （ B1，L1） 、 （ B2， L2） 反 算 P1P2的大 地 线 长 S和 大 地 方 位 角 A1、A2。 应 用 大 地 测 量 学 1、 按 解 算 的 距 离 分 为 ： 短 距 离 （ 400km)、 中 距 离（ 400 1000km)和 长 距 离 （ 1000 2000km)的 解 算 。 2、 按 解 算 形 式 分 为 ： 直 接 解 法 和 间 接 解 法 直 接 解 法 直 接 解 求 点 B、 A和 相 邻 起 算 点 的 大地 经 差 。 间 接 解 法 先 求 大 地 经 差 、 纬 差 和 大 地 方 位 角差 ， 再 加 入 到 已 知 点 的 相 应 大 地 数 据 中 。 主 要 用 于 短距 离 大 地 问 题 的 解 算 。 5.5.1 概 述 应 用 大 地 测 量 学 3、 高 斯 平 均 引 数 大 地 问 题 解 算 公 式 （ 间 接 解 法 ， 适用 于 短 距 离 ） 。 基 本 思 路 ： a、 按 照 平 均 引 数 展 开 的 泰 勒 级 数 把 大 地 线 两 端 点的 经 差 、 纬 差 和 方 位 角 差 各 表 示 为 大 地 线 长 S的 幂 级 数 ； b、 利 用 大 地 线 微 分 方 程 推 求 幂 级 数 中 各 阶 导 数 ，最 终 得 到 大 地 问 题 解 算 公 式 。 5.5.1 概 述 应 用 大 地 测 量 学 5.5.1 概 述 5.5.2 勒 让 德 级 数 式 5.5.3 高 斯 平 均 引 数 正 解 公 式 5.5.4 高 斯 平 均 引 数 反 解 公 式 5.5 椭 球 面 上 大 地 问 题 解 算 应 用 大 地 测 量 学 按 照 泰 勒 级 数 将 P1和 P2两 点 的 纬 差 b、 经 差 l和 方 位角 差 展 开 成 为 大 地 线 长 度 S的 幂 级 数 ， 成 为 勒 让 德 级数 式 。 公 式 （ 5-63） 公 式 （ 5-69） 公 式 （ 5-70） 公 式 （ 5-71） 5.5.2 勒 让 德 级 数 式 应 用 大 地 测 量 学 5.5.1 概 述 5.5.2 勒 让 德 级 数 式 5.5.3 高 斯 平 均 引 数 正 解 公 式 5.5.4 高 斯 平 均 引 数 反 解 公 式 5.5 椭 球 面 上 大 地 问 题 解 算 5.5.3 高 斯 平 均 引 数 正 解 公 式 应 用 大 地 测 量 学 首 先 把 勒 让 德 级 数 在 P1点 展 开 改 为 在 大 地 线 长 度 中点 M展 开 ， 以 使 级 数 公 式 项 数 减 少 、 收 敛 快 、 精 度 高 ； 其 次 ， 考 虑 到 求 定 中 点 M的 复 杂 性 ， 将 M点 用 大 地 线两 端 的 平 均 纬 度 及 平 均 方 位 角 相 对 应 的 m点 来 代 替 ， 并借 助 迭 代 计 算 ， 便 可 顺 利 的 实 现 大 地 问 题 的 正 解 。 应 用 大 地 测 量 学1、 经 差 l、 纬 差 b、 方 位 角 差 a是 S的 函 数 ， 故 可 以 将 其展 为 S的 泰 勒 级 数 （ 按 平 均 引 数 在 S/2处 展 为 S的 幂 级数 ） 。2、 引 入 大 地 线 两 端 点 的 平 均 纬 度 和 平 均 方 位 角 ， 将dL/dS以 Bm、 Am按 泰 勒 级 数 展 开 。3、 根 据 大 地 线 微 分 方 程 求 泰 勒 级 数 中 的 系 数 。4、 将 系 数 代 入 平 均 引 数 公 式 。5、 由 于 B2、 A2未 知 ， Bm、 Am精 确 值 未 知 ， 可 通 过 逐 次趋 近 法 求 出 。 一 般 三 次 即 可 。 5.5.3 高 斯 平 均 引 数 正 解 公 式 应 用 大 地 测 量 学一 般 公 式 ： 公 式 （ 5-89）实 用 公 式 ：距 离 小 于 70km时 ， 采 用 简 化 公 式 ： 公 式 （ 5-90） 5.5.3 高 斯 平 均 引 数 正 解 公 式 应 用 大 地 测 量 学 5.5.1 概 述 5.5.2 勒 让 德 级 数 式 5.5.3 高 斯 平 均 引 数 正 解 公 式 5.5.4 高 斯 平 均 引 数 反 解 公 式 5.5 椭 球 面 上 大 地 问 题 解 算 5.5.4 高 斯 平 均 引 数 反 解 公 式 应 用 大 地 测 量 学1、 已 知 两 点 间 的 纬 差 b、 经 差 l和 平 均 纬 度 Bm， 导 出 SsinAm和 ScosAm， 求 a 。2、 由 SsinAm、 ScosAm和 a计 算 S和 A1、 A2。公 式 （ 5-93） 、 （ 5-96） 第 五 章 复 习 思 考 题1。名词定义：地球椭球、椭球定位、法截线、子午圈、卯酉圈、相对法截线、大地线、垂线偏差改正、标高差改正、截面差改正、大地问题正解、大地问题反解。2。写出N、M、R及子午圈弧长、平行圈弧长的计算公式，说明式中符号的意义。3。大地线微分方程的意义。4。地面观测值（方向、距离）归算至椭球面应加哪些改正？ 第 五 章 习 题1。已知图幅I-50-67中A、B点的大地纬度B=3420、34，求相应的M、N、R。2。计算图幅I-50-67图廓长度。 11700 1173034003420 342011700 117303400I-50-67AB CD