样本空间与随机事

,第一章,随机事件与概率,在我们所生活的世界上，充满了不确定性,从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性.,如同物理学中基本粒子的运动、生物学中遗传因子和染色体的游动、以及处于紧张社会中的人们的行为一样，自然界中的不定性是固有的.这些与其说是基于决定论的法则，不如说是基于随机论法则的不定性现象，已经成为自然科学、生物科学和社会科学理论发展的必要基础.,C.R.,劳,从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作为破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的东西.他们没有认识到有可能去研究随机性，或者是去测量不定性.,概率作为一门数学学科，诞生于17世纪中叶，,它来源于对机会游戏和赌博的研究。,古典概率（帕斯卡和费马）,分析概率（Demoivre和拉普拉斯）,概率论体系（Kolmogorov）,将,不定性数量化,，来尝试回答这些问题，是直到20世纪初叶才开始的.还不能说这个努力已经十分成功了，但就是那些已得到的成果，已经给人类活动的一切领域带来了一场革命.,这场革命为研究新的设想，发展自然科学知识，繁荣人类生活，开拓了道路.而且也改变了我们的思维方法，使我们能大胆探索自然的奥秘.,下面我们就来开始一门“,将不定性数量化,”的,课程的学习，这就是,概率论与数理统计,概率论与数理统计,概率论与数理统计,序 论,概率论的研究对象,随机现象量的统计规律性,一.随机现象,在同一条件下,所观察的现象可能发生,也可能不发生.,带有随机性、偶然性的现象.,当人们在一定的条件下对它加以观察或进行试验时，观察或试验的结果是多个可能结果中的某一个.而且在每次试验或观察前都无法确知其结果，即呈现出偶然性.或者说，出现哪个结果“凭机会而定”.,随,机,现,象,的,特,点,A.太阳从东方升起；,B.明天的最高温度；,C.上抛物体一定下落；,D.新生婴儿的体重.,我们的生活和随机现象,结下了不解之缘.,下面的现象哪些是随机现象？,随机现象例,随机现象是不是没有规律可言呢?,否！,在一定条件下对随机现象进行,大量,观测会发现某种规律性.,思考：,例如:,一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性，如一定的命中率，一定的分布规律等等.,再如:,测量一物体的长度，由于仪器及观察受到的环境的影响，每次测量的结果可能是有差异的.但多次测量结果的平均值随着测量次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大多落在此常数的附近，越远则越少，因而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右基本对称”.,二.随机试验,对某一随机现象所做的一次观察或进行的一次实验,称为随机试验,简称试验.,1.试验可以在相同条件下重复进行。,2.每次试验可能出现的结果不止一个，但在试验之前不能肯定会出现哪一个结果。,随机试验的特点：,H,例如,掷硬币试验,掷一枚硬币，观察出正还是反.,T,掷骰子试验,掷一颗骰子，观察出现的点数,三.随机事件,在一定条件下,可能发生也可能不发生,的事件称为随机事件，或简称为事件，通常用大写字母,A,B,C,表示。,“,掷出2点,”,例如，在掷骰子试验中，,首先，随机事件的发生具有偶然性,在一次试验中，可能发生，也可能不发生.,其次，在大量重复试验中，随机事件的发生具有某种规律性.,随机事件的特点：,事件,基本事件,复合事件,（,相对于观察目的,不 可再分解的事件,）,（两个或一些基本事件并在一起，就 构成一个复合事件）,事件,B,=掷出奇数点,如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.,事件,A,i,=掷出,i,点,i,=1,2,3,4,5,6,必,件,然,事,例如，在掷骰子试验中，,“,掷出点数小于7,”是必然事件;,即在试验中必定发生的事件，常用,S,或,表示;,不,件,可,事,能,即在一次试验中不可能发生的事件，,常用,表示.,而“,掷出点数8,”则是不可能事件.,两个特殊的事件：,现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具.,四.样本点和样本空间,我们把随机试验的每个基本结果称为,样本点,，记作,e,或,.全体样本点的集合称为,样本空间,.样本空间用,S,或,表示.,样本点,e,.,S,如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空间由如下四个样本点组成：,S,=(,H,H,),(,H,T,),(,T,H,),(,T,T,),第1次,第2次,H,H,T,H,H,T,T,T,(,H,T,)：,(,T,H,):,(,T,T,)：,(,H,H,):,其中,样本空间在如下意义上提供了一个理想试验的模型：,在每次试验中,必有,一个样本点出现,且仅有,一个样本点出现,.,如果试验是,测试某灯泡的寿命,：,则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，,S,=,t,：,t,0,故样本空间,如果一彩民购买体育彩票，一次只购买,一张，直到中奖为止，观察其所买的奖券数，,则样本空间,引入样本空间后，事件便可以表示为样本空间的子集.,例如，掷一颗骰子，观察出现的点数,S=,i：i,=1,2,3,4,5,6,样本空间：,事件,B,就是,S,的一个子集,B,=1,3,5,B发生当且仅当B中的样本点1，3，5中的某一个出现.,五,.,事件间的关系及其运算,1.事件的包含：,如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A。记为,等价说法：如果事件B不发生，必然导致,事件A也不会发生。,即A中的每一样本点都包含于B中。,2.事件的相等：,如果事件A包含事件B，事件B也包含事件A则称事件A与事件B相等。,记为,A=B,3.事件的交（积）：,事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A与事件B的积（交）事件。,记为 或,AB,即由事件A与B的公共样本点组成的集合,4.互不相容事件：,如果事件A与事件B不能同时发生，则称事件A与事件B为互不相容（互斥）事件。即,即所有包含在A中的样本点与,包含在B中的样本点全不相同。,5.事件的并（和）：,事件A与事件B至少有一个发生的事件称为事件A与事件B的并（和）事件。,记为,即由A与B中所有样本点组成,的集合。,6.事件的对立：,事件A不发生的事件称为事件A 的对立事件（或逆事件）。记为,7.事件的差：,事件A发生，而事件B不发生，称为事件 A与B的差。记为A-B,即样本空间中所有不包含在A中,的样本点组成的集合。,即所有包含在 A中而不包含,在B中的样本点组成的集合。,随机事件的运算律,1.交换律:,2.结合律:,3.分配律:,4.对偶原则,:,考虑某教育局全体干部的集合，令A为女干部，B为已婚干部，C为具有硕士学历的干部。（1）用文字说明 ，以及 的含义。,（2）用A,B,C的运算表示“硕士学历的单身女干部”，“不是已婚硕士的干部”。,例1,例2,设A、B、C为三个随机事件,表示下列事件：,1、A发生但B与C都不发生,2、A与B都发生，而C不发生,3、三个事件中恰好发生一个,4、,A、B、C,中至少有一个发生,5、,A、B、C,中至少有两个发生,6、,A、B、C,都不发生,7、,A、B、C,中不多于（最多）一个发生,8、,A、B、C,中不多于两个（不都）发生,注意：设,A、B,为任意两个事件，则,A,B-A=B,错误,A,B-A,因为,请看下图,事件的概率,概率是随机事件,发生可能性大小,的度量,事件发生的可能性,越大，概率就,越大！,研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.,事件发生的可能性,最大是百分之百，此时,概率为1.,0,P,(,A,)1,我们用,P,(,A,)表示,事件,A发生,的概率，则,事件发生的可能性,最小是零，此时,概率为0.,事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标.它介于,0,与,1,之间.,在这一讲中，我们简要介绍了,随机试验,样本空间,随机事件及其概率,给出了事件的集合表示,那么要问:如何求得某事件的概率呢?,下面几节就来回答这个问题.,研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是,事,率,件,概,的,