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第,11,章 数的开方,实 数,请同学们思考一下，从我们开始学习数学以来，数学中的数都是怎么分类的？可以分几类？各类数中都包含哪些数,思考回顾,老师帮你们回忆一下：从我们上小学开始，最早接触到的数是,0,，,1,，,2,，,3,，,这些数称为自然数，即自然数包括了，,0,，正整数，自然数的范围较小。上学年学习了负数之后，知道了正整数，,0,，负整数构成了整数，整数的范围要比自然数的范围大一点，整数和分数构成有理数，有理数的范围又大了一点，有理数和无理数就构成了实数，实数的范围更大了。,答案,4,1,4,2,1,3,用计算器计算 的数值,1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483605585073721264412149709993583141322266592750559275579995050115278206057147010955997160597027453459686201472851741864088919860955232923048430871432145083976260362799525140798968725339654633180882964062061525835239505474575028775996172983557522033753185701135437460340849884716038689997069900481503054402779031645424782306849293691862158057846311159666871301301561856898723723528850926486124949771542183342042856860601468247207714358548741556570696776537202264854470158588016207584749226572260020855844665214583988939443709265918003113882464681570826301005948587040031864803421948972782906410450726368813137398552561173220402450912277002269411275736272804957381089675040183698683684507257993647290607629969413804756548237289971803268024744206292691248,在数学上证明，没有一个数的平方等于,2,，也就是说 不是一个有理数,那么 是个怎样的数呢？,我们知道，有理数包括整数和分数，任何一个分数写成小数的形式，必定是有限小数,或者是无限循环小数,类似地，圆周率,等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数。,不是一个有理数，实际上，它是一个无限不循环小数。,把下列各数写成小数的形式，你有什么发现？,探究,事实上，任何一个有理数都可以写成,有限小数,或,无限循环小数,。,反过来，任何,有限小数,或,无限循环小数,也都是 有理数,除了有限小数和无限循环小数，还有什么其它类型的小数吗？,无限不循环的小数,-,叫做无理数,无理数定义,无限不循环小数就叫,无理数,圆周率 及一些含有 的数,开方开不尽数,有一定的规律，但,不循环的无限小数,无理数的特征,:,注意,:,带根号的数不一定是无理数,实数,有理数无理数统称,判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？,有理数是：,无理数是：,超级演练,实数,有理数,无理数,分数,整数,正整数,0,负整数,正分数,负分数,自然数,正无理数,负无理数,无限不循环小数,有限小数及无限循环小数,一般有三种情况,实数的分类：,实数,实数,有理数,无理数,整数,分数,无限不循环小数,正实数,0,负实数,正有理数,正无理数,负有理数,负无理数,有限小数,或,无限循环小数,有理数集合,无理数集合,把下列各数分别填入相应的集合内：,无限不循环小数叫做无理数,(,强调,:,无限、不循环,.),无理数常见的,4,种典型,:,注意：,(3),、无限不循环小数：,0.101001000,(,两个,“,1,”,之间依次多一个,0),(4),、三角函数型：,tan60,，,sin45,一定要知道：,(2),无理数不一定都是用根号表示的数,.,如：,(3),无理数有无数多个,.,(4),无理数可分为正无理数和负无理数,.,(1),用根号表示的数不一定是无理数,.,如：,判定一个数是否无理数,:,(1),是看它是不是无限小数；,(2),看它是不是不循环小数；,(3),所有的有理数都能写成分数形式，但无理数则不能；,具体从以下几方面来判断,:,(1),开方开不尽的数是无理数,;,(2),是无理数,;,(3),无理数与有理数的和、差一定是无理数；,(4),无理数与有理数（不为,0,）的积、商一定是无理数；,判断的方法：,常 用,1.414,1.732,2.646,2.449,2.236,2.828,3.162,你能在数轴上找到表示 的点吗？,思考：,=,？,探究：,1,1,将两个边长为,1,的正方形剪拼成一个大正方形,.,0,1,-1,在数轴上找表示 的点,归纳,如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数轴将被填满吗,如果再将所有的无理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？,总结：数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的一个点来表示。,即：,实数,与数轴上的点一一对应,把数从有理数扩充到实数以后，有理数的,相反数和绝对值等的概念、大小比较、运算法则以及运算律，,同样适用于实数。,例如：和 互为相反数,.,绝对值等于 的数是 和,知识拓展,例：把下列实数表示在数轴上，,并比较它们的大小（用“”号连接）,在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。,试一试,填空：,（,1,）的相反数是,_,（,2,）,的相反数是,（,3,）,_,（,4,）绝对值等于 的数是,_,同步冲刺,随堂练习,一、判断以下题目：,1.,实数不是有理数就是无理数。（）,2.,无理数都是无限不循环小数。（）,3.,无理数都是无限小数。（）,4.,带根号的数都是无理数。（）,5.,无理数一定都带根号。（）,6.,两个无理数之积不一定是无理数。（）,7.,两个无理数之和一定是无理数。（）,8.,数轴上的任何一点都可以表示实数。（）,、绝对值等于 的数是 ，的平方 是 ,随堂练习,二、填空,、的相反数是，绝对值是,、比较大小：,、正实数的绝对值是,，的绝对值是,，,负实数的绝对值是,.,它本身,0,它的相反数,5,、一个数的绝对值是 ，则这个数是,.,整数有,有理数有,无理数有,实数有,随堂练习,二、填空,6,、在实数,中，,练 习,1.,判断下列说法是否正确：,（,1,）两个数相除，如果不管添多少位小数，永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数；,（,2,）任意一个无理数的绝对值是正数。,2.,计算：,.,（结果保留两位小数）,3.,比较下列各组数中两个实数的大小：,（,1,）,（,2,）,例,1,、试估计 与,的大小关系,.,分析,：用计算器求得,而,这样，容易判断,练习,:,比较下列各组数中的两个实数的大小,:,实数的大小比较和运算，通常可取它们的近似值来进行。,例,2,、计算,:(,结果精确到,0.01),解,:,用计算器求得,:,于是,所以,课后作业,完成本课时的习题,
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