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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,第九章,第七节,一、方向导数,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,一、方向导数,定义,: 若函数,则称,为函数在点,P,处沿方向,l,的,方向导数,.,在点,处,沿方向,l,(方向角为,) 存在下列极限:,记作,定理:,则函数在该点,沿任意方向,l,的方向导数存在 ,证明,: 由函数,且有,在点,P,可微 ,得,故,对于二元函数,为, ,),的方向导数为,特别:,当,l,与,x,轴同向,当,l,与,x,轴反向,向角,例,1.,求函数,在点,P,(1, 1, 1) 沿向量,3) 的方向导数 .,解,:,向量,l,的方向余弦为,例,2,.,求函数,在点,P,(2, 3)沿曲线,朝,x,增大方向的方向导数.,解,:,将已知曲线用参数方程表示为,它在点,P,的,切向量为,例3.,设,是曲面,在点,P,(1, 1, 1 )处,指向外侧的法向量,解,:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点,P,处沿,求函数,二、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：,f,变化率最大的方向,模,:,f,的最大变化率之值,方向导数取最大值：,1. 定义,即,同样可定义二元函数,称为函数,f,(,P,) 在点,P,处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,说明:,函数的,方向导数,为梯度在该方向上的投影:,向量,其中,称为,向量微分算子,或,Nabla算子,.,( 为方向,l,上的单位向量),2. 梯度的几何意义,称为函数,f,的,等值线,或,等高线,.,则,L,*,上点,P,处的,法向量,为,举例,函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.,同样,的等值面(等量面).,当其各偏导数不同,其上点,P,处的法向量为,称为,时为零时,等高线图举例,这是利用数学软件Mathematica,绘制的曲面及其等高线图, 带,阴影的等高线图中, 亮度越大,对应曲面上点的位置越高,等高线图,带阴影的等高线图,例4.,设函数,解,:,(1) 点,P,处切平面的法向量为,在点,P,(1,1,1) 处的切平面方程.,故所求切平面方程为,即,(2) 求函数,f,在点,P,(1,1,1) 沿增加最快方向的方向导数.,求,等值面,(2) 函数,f,在点,P,处增加最快的方向为,沿此方向的方向导数为,思考:,f,在点,P,处沿什么方向变化率为0 ?,注意:,对三元函数,与,垂直的方向,有无穷多,3. 梯度的基本运算公式,例5.,证,:,试证,处矢径,r,的模 ,三、物理意义,函数,(物理量的分布),数量场,(数性函数),场,向量场,(矢性函数),可微函数,梯度场,( 势 ),如: 温度场, 电势场等,如: 力场,速度场等,(向量场),注意:,任意一个向量场不一定是梯度场.,例6.,已知位于坐标原点的点电荷,q,在任意点,试证,证:,利用例5的结果,这说明场强:,处所产生的电势为,垂直于等势面,且指向电势减少的方向.,内容小结,1. 方向导数,三元函数,在点,沿方向,l,(方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向,l,(方向角为,2. 梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3. 关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,梯度在方向,l,上的投影.,方向,:,f,变化率最大的方向,模,:,f,的最大变化率之值,梯度的特点,练习,P130,题,16,提示:,P107 2，3，6，7，8，9，10,作业,第八节,备用题,1.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意,x,y,z,具有轮换对称性,(1992 考研),指向,B,( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是,.,在点,A,( 1 , 0 , 1) 处沿点,A,2.,函数,提示:,其单位向量为,(1996考研),
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