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,YANGZHOU UNIVERSITY,四、 函数的间断点及其分类,一、 函数连续性的定义,第八节,函数的连续性与间断点,第一章,三、 初等函数的连续性,机动,目录 上页 下页 返回 结束,二、 连续函数的运算性质,例1.,设函数,一、 函数连续的概念,定义:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,设函数,且,，讨论,在,处的连续性。,机动,目录 上页 下页 返回 结束,由例题可见 , 函数,在点,(1),在点,即,(2) 极限,(3),连续必须具备下列条件:,存在 ;,有定义 ,存在 ;,例2.,设函数,，讨论,处的连续性。,在,机动,目录 上页 下页 返回 结束,则称,在,或称它为该区间上的,连续函数,.,在闭区间,上的连续函数的集合记作,称,在,点处左连续,称,在,点处右连续,如果,在开区间,内每一点都连续 ,上连续 ,则称,且在,a,点右连续，,如果,在开区间,上连续 ,在,b,点左连续，,在闭区间,上连续。,机动,目录 上页 下页 返回 结束,例如,在,上连续 .,有理整函数（多项式函数）,又如,有理分式函数,在其定义域内连续.,只要,都有,机动,目录 上页 下页 返回 结束,对自变量的增量,有,函数的增量,函数,在点,连续有下列,等价命题,:,机动,目录 上页 下页 返回 结束,函数,在点,连续有两种形式的定义：,用于判断一个具体函数在一个已知点处的连续性,用于证明函数在任意点处的连续性；,或用于函数连,续的理论分析,机动,目录 上页 下页 返回 结束,例3.,证明函数,在,内连续 .,证:,即,这说明,在,内连续 .,同样可证: 函数,在,内连续 .,机动,目录 上页 下页 返回 结束,定理2.,连续单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,定理1.,在某点连续的,有限个,函数经,有限次,和 , 差 , 积 ,商,(分母不为 0),运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证明略),在 1 , 1 上也连续单调递增.,递增,(递减),也连续单调,二、连续函数的运算性质,机动,目录 上页 下页 返回 结束,定理3.,由连续函数构造的复合函数也是连续函数.,在,上连续 单调 递增,反函数,在,上也连续单调递增.,又如,机动,目录 上页 下页 返回 结束,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续 .,复合而成 ,机动,目录 上页 下页 返回 结束,三 . 初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在,定义区间内,都连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,机动,目录 上页 下页 返回 结束,在,在,四、 函数的间断点及其分类,(1) 函数,(2) 函数,不存在,;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,则,这样的点,下列情形,之一,时,函数,f,(,x,) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为,间断点,.,在,无定义,;,机动,目录 上页 下页 返回 结束,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例4.,求下列函数的间断点,时无定义，,且,时无定义，,且,不存在，,时无定义，,且,机动,目录 上页 下页 返回 结束,且,为其可去间断点 .,(4),(5),为其跳跃间断点 .,是分段点,是分段点,机动,目录 上页 下页 返回 结束,初等函数的间断点只能产生在函数孤立的无定义点上,分段函数的间断点往往产生在分段点上,（具体判别）,机动,目录 上页 下页 返回 结束,间断点的寻找：,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡 ,称,若其中有一个为,为,第一类可去间断点,.,为,第一类跳跃间断点,.,为,第二类无穷间断点,.,为,第二类振荡间断点,机动,目录 上页 下页 返回 结束,例5.,讨论函数,x,= 2 是第二类无穷间断点 .,间断点,例6 .,设,提示:,为连续函数,求,a,，,b,.,答案:,x,= 1 是第一类可去间断点 ,及类型。,机动,目录 上页 下页 返回 结束,例7.,确定函数,间断点的类型.,解:,间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,机动,目录 上页 下页 返回 结束,作业,P41 1( 2，3 )；2（2，3）；,4（3，4，5）；5,第九节,目录 上页 下页 返回 结束,
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