群论习题及答案

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,群论及其应用习题及答案,2,习题:试将由,D,3,群二维不可约表示,D,3,的矩阵元构成的投影算符,P,22,3,P,21,3,与,P,12,3,作用到函数,F=,sin,2,上,求,D,3,的一组基矢,1,3,和,2,3,.并结合课上介绍的,P,11,3,对,F,作用的结果一起进行,讨论 *,答案:3,按照投影算符的公式,P,i,=(,n,i,/h),R,D,i,*(R),P,R,可算得,P,22,3,F=(2/6)(P,E,P,A,+P,B,/2+P,C,/2 P,D,/2 P,F,/2)F,=sin,2,-sin,2,(-),+sin,2,(120,o,-)/2,+sin,2,(240,o,-)/2,-,sin,2,(+120,o,)/2,-sin,2,(-120,o,)/2,/3,=,sin,2,-sin,2,(),+sin,2,(120,o,-)/2,+sin,2,(120,o,+)/2,-,sin,2,(+120,o,)/2,-sin,2,(-120,o,)/2,=0,P,12,3,F=(3,1/2,/6)(P,B,-P,C,+P,D,P,F,)F,=(3,1/2,/6)sin,2,(120,o,-),-sin,2,(240,o,-),+,sin,2,(+120,o,),-sin,2,(-120,o,),=(3,1/2,/6)sin,2,(120,o,-),-sin,2,(120,o,+),+,sin,2,(+120,o,),-sin,2,(-120,o,),=0 *,P,21,3,F=(3,1/2,/6)(P,B,-P,C,-P,D,+P,F,)F,4,=(3,1/2,/6)sin,2,(120,o,-),-sin,2,(240,o,-),-,sin,2,(+120,o,),+sin,2,(-120,o,),=(3,1/2,/6)2 sin,2,(-120,o,),2 sin,2,(+120,o,),=(3,1/2,/3)sin,2,(-120,o,),+sin,2,(+120,o,),sin,2,(-120,o,),sin,2,(+120,o,),=(3,1/2,/3)(sin,cos,120,o,+,cos,sin,120,o,-,cos,sin,120,o,+,sin,cos,120,o,),(,sin,cos,120,o,-,cos,sin,120,o,-,sin,cos,120,o,-,cos,sin,120,o,),=,(3,1/2,/3)2 sin,cos,120,o,(-2,cos,sin,120,o,),=(,3,1/2,/3)4(1/2)(3,1/2,/2)sin,cos,=,sin,cos,将此归一化得 ,2,3,=2,1/2,cos,sin,或 2,-1/2,sin,cos,再将,P,12,3,作用在,2,3,上可得,1,3,5,P,12,3,2,3,=,(,sin,2,-,cos,2,)/2,将此归一化得 ,1,3,=,2,-1/2,(,sin,2,-,cos,2,),课上曾讲过,P,11,3,F =P,11,3,sin,2,=,(,sin,2,-,cos,2,)/2,将此归一化得 ,1,3,=,2,-1/2,(,sin,2,-,cos,2,),结果整理如下:,P,22,3,F,=,P,22,3,sin,2,=0,P,12,3,F =P,22,3,sin,2,=0,P,21,3,F =P,22,3,sin,2,=sin,cos,2,3,=2,1/2,cos,sin,P,12,3,2,3,=,(,sin,2,-,cos,2,)/2,P,11,3,F =,P,11,3,sin,2,=,(,sin,2,-,cos,2,)/2,1,3,=,2,-1/2,(,sin,2,-,cos,2,),讨论:6,问题1:,P,22,3,F =P,12,3,F =0,说明什么?,答案:说明,F=sin,2,中不,含有,D,3,群二维不可约表示,D,3,的第二,个基矢,2,3,=2,1/2,cos,sin ,问题2:有什么途径可以得到,2,3,?,答案:由,P,21,3,F =P,22,3,sin,2,=,cos,sin,可得到,2,3,问题3:为什么由,P,21,3,F,可得到,2,3,?,答案:,F,中有,1,3,P,21,3,作用在,F,中的,1,3,上可得到,2,3,问题4:还有什么途径可以得到,2,3,?,答案:先由,P,11,3,F=P,11,3,sin,2,得,1,3,=,2,-1/2,(,sin,2,-,cos,2,),再由,P,21,3,1,3,得,2,3,=2,1/2,cos,sin ,问题5:由,P,21,3,F,可得,2,3,是否可由,P,12,3,F,可得,1,3,?为什么?,答案:因为,F,中,没有,2,3,所以不能由,P,12,3,F,可得,1,3,*,