数值分析课件(第4章)

机动,上页,下页,首页,结束,工科研究生公共课程数学系列,第四章,数值积分和数值微分,内容提要,4.1 引言,4.2 牛顿-柯特斯公式,4.3 复化求积公式,4.4 龙贝格求积公式,4.5 高斯求积公式,4.6 数值微分,4.1 引言,一、数值求积的基本思想,对定义在区间a,b上的定积分,但有时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分,复杂，难于求出或计算；另外如被积函数是由测量或数值计,算给出的一张数据表示时，上述方法也不能直接运用。因此,有必要研究积分的数值计算问题。,积分中值定理告诉我们：,平均高度,f(),a,b,y,x,y,=,f(x),0,a,f(a+b)/2),b,y,x,y,=,f(x),0,a,b,y,x,y,=,f(x),0,梯形公式,平均高度,中矩形公式,平均高度,更一般地，我们构造具有下列形式的求积公式,求积节点,求积系数,这类数值方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿-莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难。,二、代数精度的概念,利用代数精度的概念构造求积公式,三、插值型的求积公式,4.2 牛顿-柯特斯公式,一、牛顿-柯特斯公式的导出,柯特斯系数,牛顿-柯特斯公式的代数精度,4.3 复合求积公式,一、问题与基本思想,在使用牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当,n,8时,牛顿.柯特斯求积系数会出现负数)，因而不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。为了提高精度通常采用将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式(梯形公式或辛普森公式)，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。本节只讨论复化的梯形公式和复化的辛普森公式。,二、复合梯形公式,三、复合辛普森公式,x,i,0 1/8 1/4 3/8 1/2,f(x,i,),1 0.9973978 0.9896158 0.9767267 0.9588510,x,i,5/8 3/4 7/8 1,f(x,i,),0.9361556 0.9088516 0.8771925 0.8414709,4.4 龙贝格求积公式,一、梯形法的递推化(变步长求积法),于是可以逐次对分形成一个序列,T,1,T,2,T,4,T,8,此序列,收敛于积分真值,I,。当|,T,2,n,-,T,n,|时，取,T,2,n,为,I,的近似值。,以上算法称为,变步长求积法,。但由于此序列收敛太慢。下节我们将其改造成为收敛快的序列。,二、龙贝格算法,如何提高收敛速度以节省计算量是龙贝格算法要讨论的中,心问题。,这样我们从收敛较慢的,T,n,序列推出了收敛较快的,S,n,序列。可以证明,S,n,序列实际上就是逐次分半的复化辛普森公式序列。,这样我们从,C,n,序列又推出了收敛更快的,R,n,序列.,R,n,序列也称为龙贝格序列。我们从收敛较慢的,T,n,序列,只用了一些四则运算，便推出了收敛更快的,S,n,序列,C,n,序列和,R,n,序列。,T,1,T,2,S,1,T,4,S,2,C,1,T,8,S,4,C,2,R,1,T,16,S,8,C,4,R,2,运算顺序表,k,T,2,k,S,2,k-1,C,2,k-2,R,2,k-3,0,0.9207355,1,0.9397933,0.9461459,2,0.9445135,0.9460869,0.9460830,3,0.9456909,0.9460833,0.9460831,0.9460831,这里利用二分3次的数据（它们的精度都很差，只有两三位,有效数字）通过三次加速求得,R,1,=0.9460831,这个结果的每,一位数字都是有效数字，可见加速效果是十分显著的。,4.5 高斯求积公式,一、一般理论,4.6 数值微分,一、中点方法与误差分析,数值微分就是要用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值。由导数定义差商近似导数得到数值微分公式。,h,G(h),h,G(h),h,G(h),1,0.3660,0.05,0.3530,0.001,0.3500,0.5,0.3564,0.01,0.3500,0.0005,0.3000,0.1,0.3535,0.005,0.3500,0.0001,0.3000,二、插值型的求导公式,知,识,结,构,图,四,数值,积分,与数,值微,分,数值,积分,基本概念,牛顿-柯特斯公式,复合求积公式,数值,微分,中点方法,插值型求导公式,龙贝格求积公式,高斯求积公式,End!,