M一,1-03逻辑代数简化问题2h

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,三、逻辑代数的化简,1,逻辑代数的基本定律及常用公式,2,卡诺图,3,利用卡诺图化简逻辑函数,10/7/2024,1,1,、掌握逻辑代数的基本定律及常用公式；,2,、学会如何画卡诺图（两变量、三变量、四变量等）；,3,、掌握利用卡诺图化简逻辑函数。,逻辑代数化简之课题目标：,10/7/2024,2,(1).,基本公式,（,1,）,常量之间的关系,这些常量之间的关系，同时也体现了逻辑代数中的基本运算规则，也叫做公理，它是人为规定的，这样规定，既与逻辑思维的推理一致，又与人们已经习惯了的普通代数的运算规则相似。,0,0 = 0,0 + 0 = 0,0,1 = 0,0 + 1 = 1,1,0 = 0,1 + 0 = 1,1,1 = 1,1 + 1 = 1,0 = 1,1,= 0,请特别注意与普通代数不同之处,与,或,1,逻辑代数的基本定律及常用公式,10/7/2024,3,（,2,）,常量与变量之间的关系,普通代数结果如何？,（,3,）与普通代数相似的定理,交换律,AB = BA,A + B = B + A,结合律,A,（,BC,）,=,（,AB,）,C,A +(B+C)=(A+B)+C,分配律,A,（,B+C,）,=AB + AC,A+(BC)=(A+B)(A+C),10/7/2024,4,（,4,）特殊的定理,De ,morgen,定理,反演律,(,摩根定理,),真值表,10/7/2024,5,逻辑代数的基本公式,10/7/2024,6,2.,常用公式,B,：互补,A,：公因子,A,是,AB,的因子,10/7/2024,7,A,的反函数是因子,与互补变量,A,相与的,B,、,C,是第三项,添加项,10/7/2024,8,常用公式,需记忆,10/7/2024,9,在任何一个逻辑等式（如,F,W,）中，如果将等式两端的某个变量（如,B,）都以一个逻辑函数（如,Y,=,BC,）代入，则等式仍然成立。这个规则就叫代入规则。,3.,运算规则,（,1,）,代入规则,推广,利用代入规则可以扩大公式的应用范围。,10/7/2024,10,（,2,）,反演规则,运用反演规则时，要注意运算的优先顺序（先括号、再相与，最后或） ，必要时可加或减扩号。,对任何一个逻辑表达式,Y,作反演变换，可得,Y,的反函数,Y,。这个规则叫做反演规则。,反演变换：,“,”“”,“”“”,“,0,”,“,1,”,“,1,”,“,0,”,，,原变量反变量,反变量原变量,10/7/2024,11,对任何一个逻辑表达式,Y,作对偶变换，可,Y,的对偶式,Y,。,（,3,）,对偶规则,运用对偶规则时，同样应注意运算的优先顺序，必要时可加或减扩号。,对偶变换：,“,”“”,“”“”,“,0,”,“,1,”,“,1,”,“,0,”,10/7/2024,12,利用对偶定理，可以使要证明和记忆的公式数目减少一半。,互为对偶式,对偶定理：,若等式,Y,=,W,成立，则等式,Y,=,W,也成立。,10/7/2024,13,4.,化简的意义和最简单的概念,（,1,）,化简的意义,例：用非门和与非门实现逻辑函数,解：直接将表达式变换成与非与非式：,可见，实现该函数需要用两个非门、四个两输入端与非门、一个五输入端与非门。电路较复杂。,2,4,1,两次求反,反演律,10/7/2024,14,若将该函数化简并作变换：,可见，实现该函数需要用两个非门和一个两输入端与非门即可。电路很简单。,2,1,10/7/2024,15,（,2,）,逻辑函数的多种表达式形式,与,-,或表达式,与非,-,与非表达式,或,-,与非表达式,或非,-,或表达式,两次求反并用反演律,反演律,反演律,10/7/2024,16,（,2,）,逻辑函数的多种表达式形式（续）,或,-,与表达式,或非,-,或非表达式,与,-,或非表达式,与非,-,与表达式,10/7/2024,17,由以上分析可知，,逻辑函数有很多种表达式形式，但形式最简洁的是与或表达式，因而也是最常用的。,（,3,）,逻辑函数的最简标准,由于与或表达式最常用，因此只讨论最简与或表达式 的最简标准。,最简与或表达式为：, 与项（乘积项）的个数最少；, 每个与项中的变量最少。,10/7/2024,18,5.,公式化简法,反复利用逻辑代数的,基本公式、常用公式和运算规则,进行化简，又称为代数化简法。,必须依赖于对公式和规则的,熟练记忆,和一定的,经验、技巧,。,10/7/2024,19,（,1,）,代入规则,在任何一个逻辑等式（如,F,W,）中，如果将等式两端的某个变量（如,B,）都以一个逻辑函数（如,Y,=,BC,）代入，则等式仍然成立。这个规则就叫代入规则。,在公式化简中大量应用！,需灵活掌握。,最常使用，特别需要熟练记忆！,10/7/2024,20,（,2,）,反演规则便于实现反函数。,（,3,）,对偶规则使公式的应用范围扩大一倍，,使公式的记忆量减小一倍。,反演变换：,“,”“”,“”“”,“,0,”,“,1,”,“,1,”,“,0,”,，,原变量反变量,反变量原变量,对偶变换：,“,”“”,“”“”,“,0,”,“,1,”,“,1,”,“,0,”,10/7/2024,21,例,化简函数,解：,例化简函数,解：,代入规则,（,1,）,并项法,利用公式,A+A=1,或公式,AB+AB=A,进行化简，通过合并公因子，消去变量。,或：,代入规则,10/7/2024,22,（,2,）,吸收法,利用公式,A+AB=A,进行化简，消去多余项。,例,化简函数,解：,例化简函数,解：,10/7/2024,23,例,化简函数,解：,例化简函数,解：,（,3,）,消去法,利用公式,A+AB=A,B,进行化简，消去多余项。,10/7/2024,24,例,化简函数,解：,（,4,）,配项法,在适当的项配上,A+A=1,进行化简。,10/7/2024,25,例,化简函数,解,2,：,解,1,得：,问题：函数,Y,的结果不一样，哪一个解正确呢？,答案都正确,!,最简结果的形式是一样的，都为三个与项，每个与项都为两个变量。表达式不唯一！,10/7/2024,26,例 化简函数,解：,（,5,）,添加项法,利用公式,AB+AC+BC=AB,AC,，先添加一项,BC,，然后再利用,BC,进行化简，消去多余项。,10/7/2024,27,下面举一个综合运用的例子。,解：,10/7/2024,28,2,卡诺图,公式化简法评价：,优点：变量个数不受限制。,缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不易判断。,利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点。,卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一种方法。,卡诺图的基本组成单元是最小项，所以先讨论一下最小项及最小项表达式。,10/7/2024,29,1.,最小项及最小项表达式,（,1,）,最小项,具备以上条件的乘积项共八个，我们称这八个乘积项为三变量,A,、,B,、,C,的最小项。,设,A,、,B,、,C,是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变量按以下规则构成乘积项：,每个乘积项都只含三个因子，且每个变量都是它的一个因子；,每个变量都以反变量,(A,、,B,、,C),或以原变量,(A,、,B,、,C),的形式出现一次，且仅出现一次。,推广：一个变量仅有原变量和反变量两种形式，因此,N,个变量共有,2,N,个最小项。,10/7/2024,30,最小项的定义,:,对于,N,个变量，如果,P,是一个含有,N,个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反变量的形式，作为一个因子在,P,中出现且仅出现一次，那么就称,P,是这,N,个变量的一个最小项。,三变量最小项真值表,10/7/2024,31,（,2,）,最小项的性质,对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为,1,，而变量取其余各组值时，该最小项均为,0,；,任意两个不同的最小项之积恒为,0,；,变量全部最小项之和恒为,1,。,10/7/2024,32,最小项也可用“,m,i,”,表示，下标“,i”,即最小项的编号。编号方法：把最小项取值为,1,所对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进制数，就是该最小项的编号。,三变量最小项的编号表,10/7/2024,33,（,3,）最小项表达式,任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式,标准与或表达式。而且这种形式是惟一的，就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。,例,将,Y,=,AB,+,BC,展开成最小项表达式。,解：,或：,10/7/2024,34,2.,卡诺图及其画法,（,1,）,卡诺图及其构成原则,卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的方框图。构成卡诺图的原则是：,N,变量的卡诺图有,2,N,个小方块（最小项）；, 最小项排列规则：,几何相邻的必须逻辑相邻。,逻辑相邻：,两个最小项,只有一个变量的形式不同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。,几何相邻的含义：,一是相邻,紧挨的；,二是相对,任一行或一列的两头；,三是相重,对折起来后位置相重。,10/7/2024,35,三变量卡诺图的画法,（,2,）,卡诺图的画法,首先讨论三变量,（,A,、,B,、,C,）,函数卡诺图的画法。,3,变量的卡诺图有,2,3,个小方块；, 几何相邻的必须逻辑相邻：变量的取值按,00,、,01,、,11,、,10,的顺序（循环码 ）排列 。,相邻,相邻,10/7/2024,36,四变量卡诺图的画法,相邻,相邻,不,相邻,正确认识卡诺图的“逻辑相邻”：上下相邻，左右相邻，并呈现“循环相邻”的特性，它类似于一个封闭的球面，如同展开了的世界地图一样。,对角线上不相邻。,10/7/2024,37,（,1,）,从真值表画卡诺图,根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一个小方块的值（,0,或,1,）即可。需注意二者顺序不同。,例,已知,Y,的真值表，要求画,Y,的卡诺图。,逻辑函数,Y,的真值表,1.,用卡诺图表示逻辑函数,A B C,Y,0 0 0,0,0 0 1,1,0 1 0,1,0 1 1,0,1 0 0,1,1 0 1,0,1 1 0,0,1 1 1,1,例,1-8,的卡诺图,3,利用卡诺图化简逻辑函数,10/7/2024,38,（,2,）,从最小项表达式画卡诺图,把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入,1,，其余的小方块中填入,0,。,例,画出函数,Y(A,、,B,、,C,、,D)= m(0,3,5,7,9,12,15),的卡诺图。,例,1-9,的卡诺图,10/7/2024,39,（,3,）,从与或表达式画卡诺图,把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的的公因子）所对应的小方块都填上,1,，剩下的填,0,，就可以得到逻辑函数的卡诺图。,1,1,1,1,AB,11,例已知,Y,AB,ACD,ABCD,，画卡诺图。,最后将,剩下的,填,0,1,+1,ACD,=101,1,ABCD,=0111,10/7/2024,40,（,4,）,从一般形式表达式画卡诺图,先将表达式变换为与或表达式，则可画出卡诺图。,10/7/2024,41,（,1,）,卡诺图中最小项合并的规律,合并相邻最小项，可消去变量。,合并两个最小项，可消去一个变量；,合并四个最小项，可消去两个变量；,合并八个最小项，可消去三个变量。,合并,2,N,个最小项，可消去,N,个变量。,2.,卡诺图化简法,由于卡诺图两个相邻最小项中，只有一个变量取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相邻最小项，利用公式,A,+,A,=1,，,AB,AB,A,，,可以消去一个或多个变量，从而使逻辑函数得到简化。,10/7/2024,42,图,1-15,两个最小项合并,m,3,m,11,BCD,10/7/2024,43,图,1-16,四个最小项合并,10/7/2024,44,图,1-17,八个最小项合并,10/7/2024,45,（,2,）,利用卡诺图化简逻辑函数,A,基本步骤：, 画出逻辑函数的卡诺图；, 合并相邻最小项（圈组）；, 从圈组写出最简与或表达式。,关键是能否正确圈组,。,B,正确圈组的原则, 必须按,2,、,4,、,8,、,2,N,的规律来圈取值为,1,的相邻最小项；, 每个取值为,1,的相邻最小项至少必须圈一次，但可以圈多次；, 圈的个数要最少（与项就少），并要尽可能大（消去的变量就越多）。,10/7/2024,46,C,从圈组写最简与或表达式的方法：, 将每个圈用一个与项表示,圈内各最小项中互补的因子消去，,相同的因子保留，,相同取值为,1,用原变量，,相同取值为,0,用反变量；, 将各与项相或，便得到最简与或表达式。,10/7/2024,47,例,用卡诺图化简逻辑函数,Y(A,、,B,、,C,、,D)=m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11),解：,相邻,A,10/7/2024,48,相邻,BC,A,10/7/2024,49,BC,A,B D,10/7/2024,50,例,化简图示逻辑函数。,解：,多余的圈,1,1,2,2,3,3,4,4,10/7/2024,51,圈组技巧,(,防止多圈组的方法,),：,先圈孤立的,1,；, 再圈只有一种圈法的,1,；, 最后圈大圈；, 检查：每个圈中至少有一个,1,未被其它圈圈过。,10/7/2024,52,3.,具有无关项的逻辑函数及其化简, 无关项的概念,对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可以是任意的,(,随意项、任意项,),，或者这些输入变量的取值根本不会（也不允许）出现,(,约束项,),，通常把这些输入变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项，在卡诺图中用符号“,”,表示，在标准与或表达式中用,d,（）表示。,例：当,8421BCD,码作为输入变量时，禁止码,1010,1111,这六种状态所对应的最小项就是无关项。,10/7/2024,53, 具有无关项的逻辑函数及其化简,因为无关项的值可以根据需要取,0,或取,1,，所以在用卡诺图化简逻辑函数时，充分利用无关项，可以使逻辑函数进一步得到简化。,10/7/2024,54,例,设,ABCD,是十进制数,X,的二进制编码，当,X5,时输出,Y,为,1,，求,Y,的最简与或表达式。,真值表,X,A B C D,Y,0,0,0 0 0,0,1,0,0 0 1,0,2,0,0 1 0,0,3,0,0 1 1,0,4,0,1 0 0,0,5,0,1 0 1,1,6,0,1 1 0,1,7,0,1 1 1,1,8,1,0 0 0,1,9,1,0 0 1,1,/,1 0 1 0,/,1 0 1 1,/,1 1 0 0,/,1 1 0 1,/,1 1 1 0,/,1 1 1 1,解：列真值表，见表,1-20,所示。,画卡诺图并化简。,10/7/2024,55,卡诺图,充分利用无关项化简后得到的结果要简单得多。注意：当圈组后，圈内的无关项已自动取值为,1,，而圈外无关项自动取值为,0,。,利用无关项化简结果为：,Y,A,BD,BC,10/7/2024,56,例,化简逻辑函数,Y(A,、,B,、,C,、,D)= m(1,2,5,6,9)+ d(10,11,12,13,14,15),式中,d,表示无关项。,卡诺图,解：画函数的卡诺图并化简。,结果为：,Y,CD,CD,10/7/2024,57,