华东师范大学 matlab exp03w

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,实验三,求代数方程的近似根,(,解,),数学实验,问题背景和实验目的,实验三,、,近似求解代数方程,解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是众多应用领域中不可避免的问题之一。,目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程，但如果在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则可以认为求解问题已基本解决，至少可以满足实际需要。,本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：,对分法,，,迭代法,和,牛顿法,。同时要求大家学会如何利用,Matlab,来求方程的近似解。,相关概念,如果,f,(,x,),是一次多项式，称上面的方程为,线性方程,；否则称之为,非线性方程,。,线性方程,与,非线性方程,基本思想,对分法,将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后再对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止。,适用范围,求有根区间内的,单根,或,奇重实根,。,数学原理：,介值定理,设,f,(,x,),在,a,b,上连续，且,f,(,a,),f,(,b,)0,，则由介值定理可得，在,(,a,b,),内至少存在一点,使得,f,(,)=0,。,具体步骤,对分法,设方程在区间,a,b,内连续，且,f(a)f(b,)0,，给定精度要求,，若有,|,f(x,)|,，,则,x,就是我们所需要的,f(x,),在区间,(,a,b,),内的,近似根,。,.,收敛性分析,对分法收敛性,设方程的根为,x*,(,a,k,b,k,),，又 ，所以,0,(k,),对分法总是收敛的,但对分法的收敛速度,较慢,通常用来试探实根的,分布区间,，或给出根的一个较为,粗糙的近似,。,根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的区间序列,a,k,b,k,，在,(,a,k,b,k,),中含有方程的根。,迭代法,基本思想,构造,f,(,x,)=0,的一个等价方程：,从某个近似根,x,0,出发，计算,得到一个迭代序列,k,=0,1,2,.,(,x,),的不动点,f,(,x,)=0,x,=,(,x,),等价变换,f,(,x,),的零点,若 收敛，即 ，假设,(,x,),连续，则,收敛性分析,迭代法的收敛性,即,注：若得到的点列发散，则迭代法失效！,定义：,迭代法收敛性判断,定理,2,：,如果定理,1,的条件成立，则有如下估计,如果存在,x*,的,某个,邻域,=(,x,*,-,x*,+,),使得对,x,0,开始的迭代,x,k,+1,=,(,x,k,),都收敛,则称该迭代法在,x*,附近,局部收敛,。,定理,1,：,设,x*,=,(,x*,),，,的,某个 邻域,内连续，且对,x,都有,|,(,x,)|,q,1,则对,x,0,，,由,迭代,x,k,+1,=,(,x,k,),得到的点列都收敛。,迭代法收敛性判断,定理,3,：,已知方程,x,=,(,x,),，,且,(1),对,x,a,b,，,有,(,x,),a,b,；,对,x,a,b,，,有,|,(,x,)|,q,syms,x,f=sin(x)+3*x2;,g=,diff(f,x,),g=diff(,sin(x)+3*x2,x,),教材：,P69,4,作业,（,要求写实验报告,）,上机作业,