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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章,线性空间与内积空间,一、线性空间的基本概念,1.,线性空间,:,P是一个数域，V是一个非空集合.,3,.,线性空间的基与维数.,4,.,基变换公式.,2,.,线性空间v中有限个向量的线性相关性.,5,.,子空间:对加法封闭，对数乘封闭.,6,.,维数公式.,7,.,线性空间的同构.,数域P上的任意两个n维线性空间是同构的.,1,.,内积空间,二、内积空间的基本概念,2,.,设 V是n维空间，是V的一组基，求与,等价的正交单位向量组.,3,.,正交补空间,4,.,内积空间的同构.,所有n维内积空间是同构的.,5,.,酉空间,1,.已给不相容线性方程组 求此方程组的,最小二乘解,三、最小二乘法,是最小二乘解满足的代数方程.,第二章,线性变换,1.,线性变换,2,.,设T是n维线性空间的线性变换,3,.,线性变换的矩阵表示,4,.,与 同构,5,.,线性变换在不同基下的矩阵是相似的,6,.,不变子空间,正交变换在V的任意一组标准正交基下的矩阵为,正交矩阵,8,.,酉变换,9,.,对称变换,内积空间的线性变换是对称变换的充要条件是,它在标准正交基下的矩阵为实对称矩阵.,7,.,正交变换,10,.,Hermite,变换,酉空间的线性变换是,Hermite,变换的充要条件是,它在标准正交基下的矩阵为,Hermite,矩阵.,第三章,矩阵的标准形,T,是,n,维线性空间的线性变换，,T,的,属于特征,值 的特征向量.,2,.,设T是n维线性空间的线性变换,如何求T的特,征值及与之相应的特征向量,一、矩阵的标准形,3,.,设T是n维线性空间V的线性变换,如何判断V中,是否存在一组基，使得T在该基下的矩阵是对,角阵,4,.,设 A的行列式因子,5,.,设 A的不变因子,6,.,设 A的初等因子.,7,.,求矩阵A的Jordan标准形及相似变换矩阵P.,8,.,哈密顿-凯莱定理.,9,.,设 求A的最小多项式.,若A的特征值互不相同，则最小多项式与特征多项式相同.,10,.,多项式矩阵 的斯密斯标准形.,11,.,厄米特二次型.,二、矩阵的分解,2.,可逆矩阵的QR分解.,3.,单纯矩阵的谱分解.,1.,n阶方阵的三角分解.,第四章,矩阵分析,一、向量范数,1,.,几种常用的向量范数,2,.,有限维线性空间 的向量范数是相互等价的.,二、矩阵范数,1,.,几种常用的矩阵范数,三、,向量与矩阵的极限,1,.,矩阵 的序列 收敛于 的充要条件 是 .,四、,函数矩阵的极限、微分、积分,五、,函数矩阵对矩阵的微分,矩阵 对矩阵 的导数,六、,矩阵级数,1,.,方阵级数 收敛的充要条件是对任一方阵范数 ，正项级数 收敛.,七、,矩阵幂级数,1,.,设复变数幂级数 的收敛半径为 .,的谱半径为,(1),.若 则 绝对收敛；,(2),.若 则 发散.,八、,矩阵函数,1.,矩阵函数定义一.,2,.,矩阵函数定义二.,九、,矩阵函数在微分方程中的应用,第五章,矩阵特征值的估计,一、特征值界的估计,1,.,设,A,的特征值为 则,2,.,实对称矩阵的特征值全为实数.,3,.,反实对称矩阵的特征值全零或纯虚数.,4,.,厄米特矩阵的特征值全为实数.,5,.,反厄米特矩阵的特征值全零或纯虚数.,二、圆盘定理,1,.,设 是 的特征值，,则,2,.,矩阵A的任一由k个盖尔圆组成的连通区域,内有且仅有A的k个特征值.,三、广义逆矩阵与线性方程组的解,1,.,设 若 满足 ，则称,是 的减号逆，记为,2,.,3,.,的求法,4,.,的性质,5,.,齐次线性方程组 的通解,6,.,非齐次线性方程组 的通解,
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