理论力学 02平面汇交力系与平面力偶系

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第,2,章平面汇交力系与平面力偶系,2.,*,第,2,章 平面汇交力系与平面力偶系,返回总目录,平面汇交力系合成与平衡的几何法,平面汇交力系合成与平衡的解析法,平面力对点之矩的概念及计算,平面力偶理论,习题与思考题,本章内容,2.1,平面汇交力系合成与平衡的几何法,一、平面汇交力系合成的几何法,设如图,2.1(a),所示为作用于任一刚体上的力,F1,、,F2,、,F3,、,F4,，它们的作用线交于点,A,，组成一平面汇交力系。由力的可传性，将各力沿其作用线移至汇交点,A,，如图,2.1(b),所示。根据力的三角形法则，将各力依次合成，即从任意点,a,作矢量,ab,代表力矢,F1,，在其末端,b,作矢量,bc,代表力矢,F2,，则虚线,ac,表示力矢,F1,和,F2,的合力矢,FR1,；再从点,c,作矢量,cd,代表力矢,F3,，则,ad,表示,FR1,和,F3,的合力,FR2,；最后从点,d,作,de,代表力矢,F4,，则,ae,代表力矢,FR2,与,F4,的合力矢，亦即原汇交力系,F1,、,F2,、,F3,、,F4,的合力矢,FR,，其大小和方向如图,2.1(c),所示，其作用线通过汇交点,A,。,实际作图时，不必画出虚线所示的中间合成力,FR1,和,FR2,，只需把各分力矢首尾相连，形成一个不封闭的多边形,abcde,，则第一个力矢,F1,的起点,a,向最后一个力矢,F4,的终点,e,作,ae,，即得合力矢,FR,。各分力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形，合力矢是力多边形的封闭边。这种求合力的几何作图法称为力多边形法则。由图,2.1(d),可见，若改变各力矢的作图顺序，所得的力多边形的形状则不同，但是这并不影响最后所得的封闭边的大小和方向，即不会影响合成或简化的最终结果。但应注意，各分力矢必须首尾相连，环绕力多边形周边的同一方向，而合力矢则逆向封闭力多边形。,图,2.1,平面汇交力系的几何合成,将上述方法推广到由,n,个力,F1,、,F2,、,、,Fn,组成的平面汇交力系，可得结论：平面汇交力系合成的结果是一个合力，其合力的大小和方向等于原力系中所有各力的矢量和，可由力多边形的封闭边确定，合力的作用线过力系的汇交点。可用矢量式表示为,:,2.1,平面汇交力系合成与平衡的几何法,若力系中各力的作用线沿同一直线，则称此力系为共线力系。在这种特殊情况下，力多边形变成一条直线，合力为,:,(,矢量和,),2.1,平面汇交力系合成与平衡的几何法,(,代数和,),【,例,2.1】,同一平面的三根钢索边连结在一固定环上，如图,2.2(a),所示，已知三钢索的拉力分别为：,F1,500N,，,F2,1000N,，,F3,2000N,。试用几何作图法求三根钢索在环上作用的合力。,图,2.2,合成钢索拉力,解：,(1),先确定力的比例尺如图,2.2,所示。,(2),应用多边形法，将力,F1,、,F2,和,F3,首尾相接后，再从,F1,的起点,a,至,F3,的终点,d,连一直线，此封闭边,ad,即合力矢,FR(,见图,2.2(b),。,(3),用直尺和量角器即可确定合力矢,FR,的大小和方向：,FR,2840N,，,FR,与,F1,的夹角为,(,与,x,轴夹角为,),。,最后将结果在原图中标出,(,见图,2.2(a),平面汇交力系的合成结果是一个合力。显然，如果力系处于平衡，则力系的合力必须等于零。反之，若合力等于零，则力系必处于平衡。故平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等于零。即：,在几何法中，平面汇交力系的合力是由力多边形的封闭边表示的。因此，要使合力等于零，则封闭边的长度必须为零，即力多边形的起点和终点重合，这种情况称为力多边形自行封闭。可见，平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：该力系的力多边形自行封闭。,求解平面汇交力系的平衡问题时可用图解法，即按比例先画出封闭的力多边形，然后量得所要求的未知量；也可根据图形的几何关系用三角公式计算出所要求的未知量。,二、平面汇交力系平衡的几何条件,2.1,平面汇交力系合成与平衡的几何法,2.1,平面汇交力系合成与平衡的几何法,【,例,2.2】,水平梁,AB,的中点,C,作用着力,P,，其大小等于,20kN,，方向与梁的轴线成角，支承情况如图,2.3(a),所示。试求固定铰链支座,A,和,活动铰链支座,B,各点所受的反,力,(,梁的自重不计,),。,图,2.3,水平梁,AB,的受力分析,解：,(1),取梁,AB,为研究对象。,(2),画受力图。作用在梁,AB,上的力有：主动力,P,；活动铰链支座,B,的反力,FB,，方向垂直于支承面；固定铰链支座,A,的反力,FA,，方向待定。现在梁,AB,只受三个力作用而平衡，故由三力平衡时的汇交定理知，,FA,的作用线必通过,P,和,FB,的交点,D,，如图,2.3(b),所示。所得的力系是平面汇交力系。,(3),应用平衡的几何条件画力,P,、,FA,和,FB,的闭合三角形。为此先画已知力,P,，然后从过力,P,的始端,E,和末端,F,分别作直线平行于,FA,和,FB,得交点,G,，于是得力三角形,EFG,，顺着,EFGE,的方向标出箭头，使其首尾相连，则矢量和就分别表示力,FA,和,FB,的大小和方向,(,见图,2.3(c),。,(4),求得结果。由三角关系得,(,方向如图所示,),一、力在直角坐标轴上的投影,设力,F,作用于刚体上的,A,点,(,如图,2.4,所示,),，在力,F,作用的平面内建立坐标系,Oxy,，由力,F,的起点,A,和终点,B,分别向,x,轴作垂线，得垂足,a,和,b,，这两条垂线在,x,轴上所截的线段再冠以相应的正负号，称为力,F,在,x,轴上的投影，用,Fx,表示。力在坐标轴上的投影是代数量，其正负号规定：若由,a,到,b,的方向与,x,轴的正方向一致时，,力的投影为正值，反之为负值。同,理，从,A,和,B,分别向,y,轴作垂线，得,垂足,a,和,b,，求得力,F,在,y,轴上的投,影,Fy,。,设和分别表示力,F,与,x,、,y,轴正,向的夹角，则由图,2.4,可得：,2.2,平面汇交力系合成与平衡的解析法,图,2.4,力在直角坐标轴上的投影,又由图,2.4,可知，力,F,可分解为两个分力,Fx,、,Fy,，其分力与投影有如下关系：,2.2,平面汇交力系合成与平衡的解析法,故力,F,的解析表达式为,反之，若已知力,F,在坐标轴上的投影,Fx,、,Fy,，则该力的大小及方向余弦为,应当注意，力的投影和力的分量是两个不同的概念。投影是代数量，而分力是矢量；投影无所谓作用点，而分力作用点必须作用在原力的作用点上。另外，仅在直角坐标系中力在坐标轴上投影的绝对值和力沿该轴分量的大小相等。,一、平面汇交力系合成的解析法,设一平面汇交力系如图,2.5,所示，在由几何法所得的力多边形,ABCDE,的平面内建立直角坐标系,Oxy,，封闭边,AE,表示该力系合力矢,FR,，在力的多边形所在位置将所有,的力矢都投影到,x,轴和,y,轴上。得：,由图,2.5,可知：,ae,=,ba+bc+cd+de,即,FRx,=F1x+F2x+F3x+F4x,同理,FRy,=F1y+F2y+F3y+F4y,2.2,平面汇交力系合成与平衡的解析法,FRx,=,ae,，,F1x=,ba,，,F2x=,bc,，,F3x=,cd,，,F4x=de,图,2.5,解析法合成平面汇交力系,将上述关系式推广到任意平面汇交力系的情形，得：,2.2,平面汇交力系合成与平衡的解析法,这就是合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。,用解析法求平面汇交力系的合成时，首先在其所在的平面内选定坐标系,Oxy,。求出力系中各力在,x,轴和,y,轴上的投影，由合力投影定理得：,则合力矢的大小和方向余弦为：,(2.8),2.2,平面汇交力系合成与平衡的解析法,【,例,2.3】,试用解析法重解例,2.1,。,解：建立如图,2.6,所示直角坐标系。根据合力投影定理，有：,由式,(2.9),得合力的大小,方向为：,解得：,图,2.6,解析法合成钢索拉力,(2.9),三、平面汇交力系平衡的解析条件,从前面知道，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是合力,FR,等于零，即,2.2,平面汇交力系合成与平衡的解析法,要使上式成立，必须同时满足,上式表明，平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。式,(2.10),称为平面汇交力系的平衡方程。这是两个独立的方程，因而可以求解两个未知量。,(2.10),【,例,2.4】,起重架可借绕过滑轮,B,的绳索将重,P,20kN,的重物匀速吊起，绞车的绳子绕过光滑的定滑轮,(,如图,2.7(a),所示,),，滑轮,B,用,AB,和,BC,两杆支撑，设两杆的自重及滑轮,B,的大小、自重均不计。试求杆,AB,、,BC,所受的力。,解：,(1),取研究对象。杆,AB,和,BC,都是二力杆，假设均受拉力，如图,2.7(c),所示。如将杆,AB,和,BC,作用于滑轮,B,的力求出，则两杆所受的力即可求出,(,互为作用力与反作用力,),，同时重物的重力与绳索的拉力也都作用于滑轮上，故取滑轮连同销钉,B,为研究对象。,(2),画受力图。重物通过绳索直接加,在滑轮的一边。在其匀速上升时，拉,力,FT,P,，而绳索又在滑轮的另一边,施加同样大小的拉力，即,FT,FT,。,此外杆,AB,和,BC,对滑轮的约束力为,FBA,与,FBC,。因不计滑轮,B,的大小，,故诸力组成一个平面汇交力系,(,见,图,2.7(b),。,(3),列平衡方程。取坐标系,Bxy,如图,2.7(b),所示，选取坐标轴。,2.2,平面汇交力系合成与平衡的解析法,图,2.7,起重架受力分析,【,例,2.5】,连杆机构,CABD,由三个无重杆铰接组成，在铰链,A,、,B,处有,F1,、,F2,作用，如图,2.8(a),所示。该机构在图示位置，试求力,F1,与,F2,的关系。,2.2,平面汇交力系合成与平衡的解析法,由,其中，,P=FT=20kN,，代入上列方程求得,FBA=54.64,kN,，,FBC=,74.64,kN,(4),关于解的讨论。图,2.7(b),中待求力,FBA,和,FBC,的指向是假定的，当由平衡方程求得某一未知力之值为负时，表示原先假定的该力指向与实际方向相反。所以本题中,FBC,为负值，其实际指向与图示相反，即杆,BC,实际受压力；而杆,AB,则受拉力。,2.2,平面汇交力系合成与平衡的解析法,图,2.8,连杆机构受力分析,解：这是一个物体系统的平衡问题。从整个机构来看，它受四个力,F1,、,F2,、,FCA,、,FDB,作用，不是平面汇交力系,(,图,2.8(a),，所以不能取整体作为研究对象求解。要求解的未知力,F1,与,F2,分别作用于铰,A,、铰,B,上，铰,A,与铰,B,均受平面汇交力系的作用，所以应该通过分别研究铰,A,与铰,B,的平衡来确定,F1,与,F2,的关系。,(1),取铰,A,为分离体。铰,A,除受未知力,F1,外，还受有二力杆,AC,和,AB,的约束反力,FAB,和,FBA(,均设为压力,),，其受力图如图,2.8(b),所示。因为与所求无直接关系的力,FCA,可不必求出，故选取,x,轴与,FBA,垂直。由平衡方程,2.2,平面汇交力系合成与平衡的解析法,(2),取铰,B,为分离体。其受力图如图,2.8(c),所示,(FDB,设为压力,),。选取,x,轴与反力,FDB,垂直，由平衡方程,比较、两式，并注意到,FAB=FBA,，解得,通过以上分析和求解过程可以看出，在求解平衡问题时，要恰当地选取分离体，恰当地选取坐标轴，以最简捷、合理的途径完成求解工作。尽量避免求解联立方程，以提高计算的工作效率。这些都是求解平衡问题所必须注意的。,2.3,平面力对点之矩的概念及计算,一、,力对点之矩,(,力矩,),力使物体绕某点转动的力学效应称为力对该点