(精品)用根轨迹法分析系统性能

第四节 用根轨迹法分析系统性能,第四章 根轨迹分析法,根轨迹反映了闭环特征根随,K,r,变化的规律，而闭环特征方程的根与系统的性能关系密切。通过,根轨迹来分析系统的性能具有直观、方便的特点。,四、增加开环零极点对系统性能 的影响,二、已知根轨迹增益,K,r,确定 闭环极点,一、闭环极点位置与系统性能,的关系,三、已知性能指标确定闭环极点和,K,r,第四节 用根轨迹法分析系统性能,一、闭环极点位置与系统性能,的关系,n,阶系统单位阶跃响应的一般表达式为,C(s,),=,s,n,+a,1,s,n-1,+a,n-1,s+a,n,b,0,s,m,+b,1,s,m-1,+b,m-1,s+b,m,R,(,s,),s,A,0,s-s,j,A,j,n,j,=1,=,+,待定系数,:,i,=1,m,(,s-z,i,),j,=1,n,(,s-s,j,),K,r,A,j,=,s=,s,j,(,s,-,s,j,),A,0,=,s,s-s,1,+,A,1,A,n,s-s,n,+,+,系统的输出响应：,c,(,t,),=A,0,+,n,j,=1,A,j,e,s,j,t,负实数极点离虚轴越远,对应的分量,e,s,j,t,衰减越快系统的调节时间就越短,响应越快,.,由上式可见,性能主要由系统闭环传递函数的极点决定。,=,n,n,cos,=,s,1,s,2,0,1-,2,n,-,n,1-,2,n,-,n,j,s,1.2,n,=-,n,1-,2,一对共轭复数极点在,s,平面上的分布,:,n,=-,+,d,j,|,s,1,|=|s,2,|=,n,d,(,),2,+,2,n,=,-1,=,cos,复数极点的参数与系统,性能的关系为,c,(,t,),=1-,t+,),e,n,t,-,2,1-,d,sin(,e,-,1-,2,100%,%=,3,n,=,t,s,第四节 用根轨迹法分析系统性能,第四节 用根轨迹法分析系统性能,复数极点的位置与性能的关系,：,（,1,）闭环复数极点的实部,反映了,系统的调整时间；,（,2,）闭环极点的虚部,d,表征了系统输,出响应的振荡频率,；,（,3,）闭环极点与坐标原点的距离,n,表,征了系统的无阻尼自然振荡频率；,（,4,）闭环极点与负实轴的夹角,反映,了系统的超调量；,（,5,）闭环极点在,s,左、右平面的分布,反映了系统的稳定性。,当系统具有多个闭环极点时，可借助于主,导极点的概念，将系统简化成低阶系统来处理。,第四节 用根轨迹法分析系统性能,例,已知系统的开环传递函数,:,(s),=,(s+1)(0.01s,2,+0.08s+1,),1,试估算系统的性能指标。,解,：,闭环有三个极点,j,0,s,1,s,1,=-1,s,2,3,=-4,j9.2,s,2,s,3,-1,9.2,-9.2,-4,s,1,为主导极点,s,2.3,可以忽略不计。,(s)=,s+1,1,t,s,=3T=3(s),闭环传递函数简化为,第四节 用根轨迹法分析系统性能,二、已知根轨迹增益,K,r,确定 闭环极点,根据根轨迹曲线分析系统性能，有时需要确定增益,K,r,取某值时的,闭环极点，进而确定闭环传递函数。已知,K,r,一般采用试探的方法确定闭环极点,.,第四节 用根轨迹法分析系统性能,例,已知系统的开环传递函数,:,s(s+1)(s+2),G,(,s,),H,(,s,)=,K,r,试确定,K,r,=1,时的闭环极点。,系统的根轨迹图如图,:,解：,j,0,p,1,p,2,p,3,-1,-2,取：,s,3,=-2.32,s,3,=-2.33,K,r,=,|s,3,|s,3,+1|s,3,+2|,K,r,=2.32,1.32,0.32=0.98,K,r,=1.023,s,3,=-2.325,K,r,=1.001,即,K,r,=1,s,3,=-2.325,s,3,s,1,s,2,根据长除法有,s+2.325,s,3,+3s,2,+2s+1,=s,2,+0.675s+0.431,可得另两个极点,s,2,3,=-0.338,j0.56,闭环传递函数为,:,(s),=,(s+2.325)(s,2,+0.675s+0.431,),1,第四节 用根轨迹法分析系统性能,三、已知性能指标确定闭环 极点和,K,r,采用根轨迹法分析系统性能，有时也需要根据对系统的性能指标要求确定,闭环极点的位置和对应的,K,r,值,，,使得系统的性能满足要求,。,第四节 用根轨迹法分析系统性能,s(s+1)(s+2),G(s)H(s,)=,K,r,=0.5,试确定闭环极点和对应的,K,r,值。,例,已知系统的开环传递函数,，要求：,系统的根轨迹图如图,:,解：,j,0,p,1,p,2,p,3,-1,-2,s,3,s,1,s,2,作射线,:,=cos,-1,=,60,与根轨迹相交点为,s,1,和,s,2,s,1,2,=-0.33,j0.58,n-m,2,_,3,j=1,p,j,-s,1,-s,2,s,3,=,=-3+0.33,2=-2.34,=2.34,1.34,0.34=1.066,K,r,=,|s,3,|s,3,+1|s,3,+2|,系统的闭环传递函数为,(s),=,(s+2.34),(s+0.33),2,+0.58,2,1.066,第四节 用根轨迹法分析系统性能,四、增加开环零极点对系统性能 的影响,由以上分析知，闭环特征根应该位于,s,左半平面，而且离虚轴要有,一定的距离，才能满足系统的稳定性和快速性要求。增加开环零、极点必将改变根轨迹的形状和走向，即改变系统的性能。,第四节 用根轨迹法分析系统性能,（,1,）二阶系统,s(s+1),G,(,s,),H,(,s,)=,K,r,1.,增加开环零点,系统的根轨迹图如图,:,j,0,p,1,p,2,-1,不管怎么选择,K,r,闭环极点离虚轴的距离都太近,影响系统的快速性。,s,1,增加零点后,:,系统的根轨迹图为,:,s(s+1),G,(,s,),H,(,s,)=,K,r,(,s,+2),z,1,-2,零点使根轨迹向左弯曲，选择适当,K,r,值，既可使闭环极点离虚轴有一定的距离,。,s,2,又可使,角较小，降低超调量。,-,n,第四节 用根轨迹法分析系统性能,零点选择不合适，效果就完全不一样。,s(s+1),G,(,s,),H,(,s,)=,K,r,(,s,+0.5),系统的根轨迹图如图,:,j,0,p,1,z,1,-0.5,p,2,-1,不管怎么选择,K,r,值，闭环极点总为两个实数极点。主导极点离虚轴的距离在,0,0.5,之间，系统的调节时间不可能缩短。,s(s+1),G,(,s,),H,(,s,)=,K,r,增加零点后,:,第四节 用根轨迹法分析系统性能,（,2,）三阶系统,s,2,(s+5),G,(,s,),H,(,s,)=,K,r,(s+2),系统的根轨迹图如图,:,j,0,p,1,p,2,p,3,-5,增加零点后,:,s,2,(s+5),G,(,s,),H,(,s,)=,K,r,z,1,-2,系统的根轨迹图,:,加了零点后根轨迹的渐近线位于,s,左半平面，系统由不稳定变成稳定。,如果增加零点,:,s,2,(s+5),G,(,s,),H,(,s,)=,K,r,(s+10),系统的根轨迹图,:,根轨迹的渐近线位于,s,右半平面，,系统仍然不稳定。,p,1,p,2,p,3,-5,0,j,z,1,-10,2,=,-5+10,=2.5,第四节 用根轨迹法分析系统性能,第四节 用根轨迹法分析系统性能,s(s+1)(s+4),G(s)H(s,)=,K,r,=0.5,例,已知系统的开环传递函数，要求：,试确定开环零点的位置。,t,s,3s,(1),系统根轨迹图,:,解：,(2),验证性能指标,作,射线,=,cos,-1,=,60,s,1,2,=-0.4,j0.7,不满足要求,加入开环零点来,改善系统的性能,=7.5s,t,s,=,3,n,j,0,p,1,p,2,p,3,s,1,z,1,s,2,(3),确定开环零点的位置,1,）选择零点,z,=-2,K,r,=6,s,1,2,=-1,j1.732,满足要求,s(s+1)(s+4),G(s)H(s,)=,K,r,(s+2),系统的根轨迹图,:,=3s,t,s,=,3,n,第四节 用根轨迹法分析系统性能,z,1,2,）选择零点,z=-0.5,j,0,p,1,p,2,p,3,s,1,s(s+1)(s+4),G,(,s,),H,(,s,)=,K,r,(s+0.5),系统的根轨迹图,:,由于闭环实数极点靠近虚轴，故系统响应速度较低。一般不希望系统出现这种情况,.,第四节 用根轨迹法分析系统性能,3,）选择零点,z,=-7,s(s+1)(s+4),G,(,s,),H,(,s,)=,K,r,(s+7),系统的根轨迹图,:,j,0,p,1,p,2,p,3,s,1,z,1,系统的性能没有大的改善,2,=,-1-4+7,=1,第四节 用根轨迹法分析系统性能,2,增加开环极点,设二阶系统的开环传递函数为,s(s+1),G,(,s,),H,(,s,)=,K,r,(s+3),系统的根轨迹图,:,j,0,p,1,p,2,z,1,1,）选择极点,p,=-6,p,3,s(s+1)(s+6),G,(,s,),H,(,s,)=,K,r,(s+3),系统的根轨迹图,:,第四节 用根轨迹法分析系统性能,j,0,p,1,p,2,z,1,2,）选择极点,p,=-2,系统的根轨迹图,:,p,3,开环传递函数中增加极点,系统的根轨迹向右弯曲,系统的稳定性变差。,s(s+1)(s+2),G,(,s,),H,(,s,)=,K,r,(s+3),2,=,-1-2+3,=0,第四节 用根轨迹法分析系统性能,3,）选择极点,p=-0.5,系统的根轨迹图,:,j,0,p,1,p,2,z,1,p,3,所增加极点的模值越小，根轨迹向右弯曲趋势越明显，对系统稳定性的影响也就越大。,s(s+1)(s+0.5),G,(,s,),H,(,s,)=,K,r,(s+3),第四章总 结,通过时域法分析系统的性能可知：系统的性能主要由系统闭环特征方程式的根来确定。根据系统的根轨迹即可分析系统的性能。系统性能的分析过程：,开环传递,函数,八条规则,闭环系统,根轨迹,根据性能,指标要求,确定闭环,极点位置,%,t,s,确定根轨迹,放大系数,K,r,第四节 用根轨迹法分析系统性能,主要内容,一、根轨迹的基本概念,系统的某个参数由零变到无穷大时，闭环特征方程的根在,s,平面上移动的轨迹。,根轨迹方程：,=-1,K,r,i=1,m,(,s-z,i,),j=1,n,(,s-p,j,),幅值方程,K=(0,1,2),m,n,j,=1,(,s-z,i,),i,=1,(,s-p,j,)=,(2k,+,1),相角方程,=1,K,r,i=1,m,(,s-z,i,),j=1,n,(,s-p,j,),第四节 用根轨迹法分析系统性能,二、绘制根轨迹的基本规则,1.,根轨迹的对称性和分布性,根轨迹对称于实轴,n,阶系统有,n,条根轨迹,2.,根轨迹的起点和终点,根轨迹起始于开环传递函数的极点,m,条根轨迹终止于开环传递函数的零点,n-m,条根轨迹终止于无穷远,3.,实轴上的根轨迹段,实轴上根轨迹段右侧的开环零、极点个数之和为奇数。,第四节 用根轨迹法分析系统性能,4.,根轨迹的渐近线,K=0,1,2,3,n,j=1,m,i=1,n-m,=,p,j,-,z,i,+,n-m,(2k+1),=,5.,根轨迹的分离点和会合点,A(s)B,(s,)=,A,(s)B(s,),6.,根轨迹的出射角和入射角,m,i,=1,(p,l,-,z,i,),-,(p,l,-,p,j,),n,j,=,l,l,=,+,n,j,=1,(,z,l,-p,j,),(,z,l,-z,i,)+,m,i,=,l,l,=,-,第四节 用根轨迹法分析系统性能,7.,根轨迹与虚轴的交点,1+G,(s),H,(s)=0,s,=,j,8.,开环极点与闭环极点的关系,n-m,2,n,j,=1,s,j,=,a,1,=-,n,j,=1,p,j,-,三、用