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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四讲 离散模型,8.1,层次分析模型,8.2,循环比赛的名次,y,离散模型,离散模型：差分方程、整数规划、图论、对策论、网络流、,分析社会经济系统的有力工具,只用到代数、集合及图论（少许）的知识,8.1 层次分析模型,背景,日常工作、生活中的决策问题,涉及经济、社会等方面的因素,作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化,Saaty,于,1970,年代提出层次分析法,AHP,(Analytic Hierarchy Process),AHP,一种,定性与定量相结合的、系统化、层次化,的分析方法,目标层,O(选择旅游地),P,2,黄 山,P,1,桂 林,P,3,北戴河,准则层,方案层,C,3,居 住,C,1,景 色,C,2,费 用,C,4,饮 食,C,5,旅 途,一.层次分析法的基本步骤,例.选择旅游地,如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.,“选择旅游地”思维过程的归纳,将决策问题分为,3,个层次：目标层,O,，,准则层,C,，,方案层,P,；,每层有若干元素，,各层元素间的关系用相连的直线表示。,通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。,将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。,层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。,层次分析法的基本步骤,成对比较阵和权向量,元素之间两两对比，对比采用相对尺度,设要比较各准则C,1,C,2,C,n,对目标O的重要性,A,成对比较阵,A,是正互反阵,要由,A,确定C,1,C,n,对O的权向量,选择旅游地,成对比较的不一致情况,一致比较,不一致,允许不一致，但要确定不一致的允许范围,考察完全一致的情况,成对比较阵和权向量,成对比较完全一致的情况,满足,的正互反阵,A,称,一致阵,，如,A,的秩为,1,，,A,的唯一非零特征根为,n,A,的任一列向量是对应于,n,的特征向量,A,的归一化特征向量可作为权向量,对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵,A,，建议用对应于最大特征根,的特征向量作为权向量,w,，即,一致阵性质,成对比较阵和权向量,2 4 6 8,比较尺度,a,ij,Saaty等人提出19尺度,a,ij,取值1,2,9及其互反数1,1/2,1/9,尺度 1 3 5 7 9,相同 稍强 强 明显强 绝对强,a,ij,=,1,1/2,1/9,的重要性与上面相反,心理学家认为成对比较的因素不宜超过,9,个,用,13,15,117,1,p,9,p,(,p,=2,3,4,5),d,+0.1,d,+0.9(,d,=1,2,3,4),等,27,种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，,19,尺度较优。,便于定性到定量的转化：,成对比较阵和权向量,一致性检验,对,A,确定不一致的允许范围,已知：,n,阶一致阵的唯一非零特征根为,n,可证：,n,阶正互反阵最大特征根,n,且,=,n,时为一致阵,定义一致性指标:,CI,越大，不一致越严重,RI,0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49,1.51,n,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,10,为衡量,CI,的大小，引入,随机一致性指标,RI,随机模拟得到,a,ij,形成,A,，计算,CI,即得,RI,。,定义一致性比率,CR=CI,/,RI,当,CR,0.1时，通过一致性检验,Saaty的结果如下,“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验,准则层对目标的,成对比较阵,最大特征根,=5.073,权向量(特征向量),w,=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110),T,一致性指标,随机一致性指标,RI=,1.12(,查表),一致性比率,CR,=0.018/1.12=0.0163),个顶点的双向连通竞赛图，存在正整数,r,，,使邻接矩阵,A,满足,A,r,0,，,A,称素阵,素阵,A,的最大特征根为正单根,，对应正特征向量,s,，,且,排名为1，2，4，3,用,s,排名,1,2,3,4,(4),1,2,3,4?,1,2,3,4,5,6,6支球队比赛结果,排名次序为1，3，2，5，4，6,
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