概率论与数理统计-第一章

,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,1.2 随机事件的概率,1.频率与概率,2.古典概型,3.几何概率,4.概率的公理化定义,1,就随机现象而言，仅仅知道可能发生哪些事件是不够的，更重要的是对事件发生的可能性做出定量的描述。,2,对于一个随机事件(必然事件和不可能事件除外)来说，它在一次试验中可能发生，也可能不发生。,我们希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性究竟有多大，找到一个合适的数来表示事件在一次试验中发生的可能性大小。,定义:,随机事件A发生可能性大小的度量(数值)，称为事件A发生的概率，记作P(A).,3,定义,:,在相同的条件下，进行了,n,次试验，在这,n,次试验中，事件,A,发生的次数,m,次，,m,称为事件,A,发生的,频数,。比值,m/n,称为事件,A,发生的,频率，,并记为,f,n,(A,),1.频率与概率,4,频率具有下述,性质,:,（1）0f,n,(A)1;,（2）f,n,(,)=1;,（3）若A,1,A,2,A,k,是两两互不相容的事件，则,5,我们知道，频率,f,n,(A),越大（或小），事件,A,发生的可能性就越大（或小），即,A,的概率就越大（或小）。可见，频率是概率的一个很好反映。,但是，频率却不能因此作为概率，因为概率应当是一个确定的量，不应象频率那样随试验次数的变化而变化。,6,即使这样，频率还是可以作为概率的一个估计，而且是一个有客观依据的估计，这个依据就是所谓的,频率稳定性,：当试验或观察次数,n,较大时，事件,A,发生的频率会在某个确定的常数,p,附近摆动，并渐趋稳定。,这是人们通过长期研究和观察总结得出的结果，在一定程度上揭示了事件发生的统计规律性.,7,历史上抛掷匀质硬币的若干结果,试验者,抛掷次数,n,正面出现,次数,m,正面出现,频率,m,/,n,德.摩尔根,2048,1061,0.518,蒲丰,4040,2048,0.5069,皮尔逊,12000,6019,0.5016,皮尔逊,24000,12012,0.5005,维尼,30000,14994,0.4998,例,8,频率的稳定性说明,随机事件出现的可能性大小是事件本身固有的一种客观属性，因而可以度量它，我们用频率的稳定值作为事件发生可能性大小的度量指标。,9,在大量重复试验中，如果事件,A,发生的频率,f,n,(A),稳定地在某一数值,p,的附近摆动，则称,p,为随机事件A发生的,概率,，记作P(A),p,概率的统计定义,10,概率的统计定义也提供了一个近似计算概率的方法:,当试验次数n,较大,时有:,事件A发生,的,概 率,事件A发生,的,频,率,11,即当试验次数n充分大时，就常把事件A的频率作为事件A的概率的“,近似值,”（或“估值”）,比如：合格率，废品率，出生率，升学率，死亡率等等，都是频率。,优点,：,直观，易懂,缺点：,建立在经验基础上,语言描述模糊，不准确,需要大量的试验观测统计，,可操作性较差,12,通过大量的重复试验，用频率来估计事件的概率，虽然提供了近似计算事件概率的一般方法，但繁琐又不经济，有时甚至是行不通的。,而对于一些特殊的随机试验，概率可用较简单的方法求得，下面介绍最早出现的一类概率问题,2.古典概型,13,在概率论发展的初期主要研究具有如下两个特点的随机试验:,(1)试验的样本空间中的样本点只有有限个，即基本事件的总数有限（有限性）;,(2)在每一次试验中，每个基本事件发生的可能性相同（等可能性）.,具有以上两个特点的随机试验称为,古典概型,14,15,设试验结果共由n个基本事件组成，并且这些事件发生的可能性相同，而事件A由其中的m个基本事件组成，则事件A发生的概率是:,概率的古典定义,16,例,:,抛掷一颗匀质骰子，观察出现的点数，求出现的点数是不小于3的偶数的概率.,解,设A表示出现的点数是大小于3的偶数，则基本事件总数n=6，A包含的基本事件是“出现4点”和“出现6点”，即m=2，故,17,例,：,盒中装有3个白球，2个黑球，从中任取一个，问：取到白球的概率是多少？,解,从盒中任取一个球，由于是“任取”，故5个球被取到的机会一样，即每一个基本事件发生的可能性相等则该试验的基本事件总数n=5,设A=取到的是白球，则A包含的基本事件个数m=3，于是由古典概率的计算公式，有,18,例,：,有100件商品，其中97件是合格品，从中任取2 件进行检验，求：,（1）两件都是次品的概率；,（2）一件是次品，一件是正品的概率,解,从100件中任取两件，共有 个不同的取法，每种取法看成一个基本事件，而且每一个结果发生的可能性大小相等，则基本事 件总数为n=,（1）设A=取出的两件产品都是次品，则事件A所包含的基本事件个数为 m=,19,于是，由古典概率的计算公式有:,(2)设B=取出的两件产品一件是次品，一件是正品，则事件B 所包含的基本事件个数为m=,于是,由古典概率的计算公式,20,例,：有100件商品，其中97件是合格品现,有放回,地一件一件地取，共取2件进行检验，,求：（1）两件都是次品的概率；,（2）一件是次品，一件是正品的概率,解,（1）从100件中一件一件有放回地取，第一次有100种不同的取法，第二次也有100种不同的取法，根据乘法原理，基本事件总数为 n=100,2,。,设A=取出的两件产品都是次品的概率，若事件A发生，则第一次有3种不同的取法，第二次也有3种不同的取法，故事件A所包含的基本事件个数为m=3,2,21,于是，由古典概率的计算公式,（,2,）设,B=,取出的两件产品一件是次品，一件是正品,，事件,B,发生是由“第一次取次品，第二次取正品”与“第一次取正品，第二次取次品”组成，而“第一次取次品，第二次取正品”共有,397,种,不同的取法.,而“第一次取正品，第二次取次品”共有 973种不同的取法，故事件B所包含的基本事件个数为,m=397 973,22,于是，由古典概率的计算公式,从以上几个例子的计算可知，求古典概率常常用到排列组合数的计算公式,23,设样本空间,为一有界几何体，事件,A,包含于,，用,m,表示几何体的测度。,3.几何概率,注,:,当几何体为一线段时，测度为长度；当几何体为平面上的某一区域时，测度为面积；当几何体为空间的某一区域时，测度为体积。,24,定义,：如果试验E的可能结果可以几何地表示为某区域中的一个点（区域 可以是一维的，二维的，三维的，），并且点落在中某区域A的概率与A的测度m(A)成正比，而与A的位置及形状无关，则随机点落在区域A,的概率为,P(A)=m(A)/m()=A的测度/的测度,这一类概率通常称作,几何概率,25,解,以,x,y,分别表示甲乙两人到达的时刻，那末0,x,T,0,y,T,.若以,x,y,表示平面上点的坐标，则：,例,(会面问题)甲，乙两人相约在0到,T,这段时间内,在预定地点会面。先到的人等候另一个人，经过时间,t,(,t,T,)后离去。设每人在0到,T,这段时间内各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不牵连。求甲、乙两人能会面的概率。,（1）所有基本事件可以用一边长为T正方形内所有点表示,.,（2）两人能会面的条件是|,x,-,y,|,t,.,26,由等可能性知，,所求概率为,O,t,T,x,x,-,y=t,y,-,x=t,t,T,A,27,4.概率的公理化定义,前面我们给出了几种随机事件的概率，并计算了一些事件的概率，但每种概率都有其局限性。,古典概型和几何概率的假设前提是等可能性；统计概率在实际中无法知道n应取多大。,前苏联数学家在总结前人的基础上于1933年给出了概率的公理化定义，简述如下：,28,概率的公理化定义,设随机试验E的样本空间为,，若对于E的每一个,事件A，都有一个实数P(A)与之对应，并且满足下列三条公理，那么,P(A)为事件A的概率,。,（1),非负性,：对于每一事件A，有0,P(A),1;,(2),规范性,：P(,)=1;,(3),可列可加性,：设A,1,A,2,是两两互不相容事件，则有,29,