量子力学 刘劲松 7讲

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,量子力学,光电子科学与工程学院,刘劲松,第七讲,厄密算符的本征值与本征函数,角动量的本征值与本征函数,1,第七讲目录,一、,厄密算符回顾,二、,厄密算符的本征值与本征函数,三、,角动量的本征值与本征函数,习题,2,一、厄密算符回顾,（1）,1、转置算符,则,2、共轭算符,3、厄密共轭算符,3,一、厄密算符回顾,（2）,4、厄密算符,5、厄密算符的平均值,定理：厄密算符的平均值为实数。,4,一、厄密算符回顾,（3）,推论：厄密算符平方的平均值大于等于零,5,二、厄密算符的本征值与本征函数（,1,）,（一）本征函数（本征态）,6,二、厄密算符的本征值与本征函数（,2,）,(,二,),本征值,7,二、厄密算符的本征值与本征函数（,3,）,定理1：厄密算符的本征值必为实数。,8,二、厄密算符的本征值与本征函数（,4,）,定理2：厄密算符的属于不同本征值的本征函数，彼此正交。即,证,9,10,二、厄密算符的本征值与本征函数（,5,）,正交归一化的表示,11,三、角动量的本征值与本征函数,（,1,）,角动量及其算符(,1,),12,三、角动量的本征值与本征函数（,2,）,角动量及其算符(,2,),13,直角坐标与球坐标的变换关系,x,z,球 坐 标,r,y,这表明：,r=r(x,y,z),x=x(r,),球坐标,将（1）式两边分别对,x y z,求偏导数得：,将（2）式两边分别对,x y z,求偏导数得：,对于任意函数,f(r,),（,其中，,r,都是,x,y,z,的函数）则有,：,将（3）式两边分别对,x y z,求偏导数得：,14,将上面结果,代回原式得：,则角动量算符,在球坐标中的,表达式为：,x,z,球 坐 标,r,y,15,例1：角动量,z,分量的本征值与本征函数,(1),三、角动量的本征值与本征函数（,3,）,16,三、角动量的本征值与本征函数（,4,）,例1：角动量,z,分量的本征值与本征函数,(2),17,三、角动量的本征值与本征函数（,5,）,18,三、角动量的本征值与本征函数（,6,）,例2：平面转子的本征值与本征函数,19,三、角动量的本征值与本征函数（,7,）,20,三、角动量的本征值与本征函数（,8,）,例3：动量,x,分量的本征值与本征函数,21,三、角动量的本征值与本征函数（,9,）,例4：一维自由粒子的能量本征态,22,习题,(1),在第5讲：一维势场中粒子能量本征态的一般性质中讲到：,23,习题,(2),24,习题,(3),25,