教育专题：等差数列的性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,等差数列的性质,知识回顾,等差数列,AAAAAAAAAAAAA,每一项与,它前一项的,差,如果一个数列从第,2,项起，,等于同一个常数,.,.,.,等差数列的通项公式是关于,n,的一次函数形式，,当,d=0,时，为常函数。,a,n,=a,1,+,(,n-,1),d,等差数列各项对应的点都在同一条直线上,.,【,说明,】,AAA,公式中,一、判定题：下列数列是否是等差数列？,.,9,，,7,，,5,，,3,，,-2n+11,，,；,.,-,1,，,11,，,23,，,35,，,12n-13,，,；,.,1,，,2,，,1,，,2,，,；,.,1,，,2,，,4,，,6,，,8,，,10,，,；,.,a,a,a,a,，,a,，,；,复习巩固：,(1),等差数列,8,，,5,，,2,，,，的第,5,项是,AA,AAAAAAA,(2),等差数列,-5,，,-9,，,-13,，,的第,n,项是,A,-4,a,n,=-5+(n-1),.,(-4),10,【,说明,】,在等差数列,a,n,的通项公式中,a,1,、,d,、,a,n,、,n,任知,三,个，,可求出,另外一个,二、填空题：,简言之,“,知三求四,”,这里包含函数思想和方程思想,(3),已知,a,n,为等差数列，,a,1,=3,，,d,=2,，,a,n,=21,，则,n,=,性质一、任意两项的关系,在等差数列 中，有,性质二、等差中项,观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：,（,1,）,2,，,4,（,2,）,-1,，,5,（,3,）,-12,，,0,（,4,）,0,，,0,3,2,-6,0,如果在,a,与,b,中间插入一个数,A,，使,a,，,A,，,b,成等差数列，那么,A,叫做,a,与,b,的,等差中项,。,思考：,数列,a,n,是等差数列，,m,、,n,、,p,、,qN,+,，且,m+n=p+q,，则,a,m,+a,n,=a,p,+a,q,。,性质三、多项关系,推广：,若,m+n=2p,，则,a,m,+a,n,=2a,p,。,判断对错：,可推广到三项，四项等,注意：等式两边作和的项数必须一样多,1,、已知：数列的通项公式为,a,n,=6n-1,问这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？,分析：由等差数列定义只需判断,a,n,-a,n-1,(n2,，,nN),的结果是否为常数。,解：,a,n,-a,n-1,=6n-1-6(n-1)-1=6(,常数,),a,n,是等差数列，其首项为,a,1,=6,1-1=5,公差为,6.,例题分析,例,2.,在等差数列,a,n,中,(1),已知,a,6,+,a,9,+,a,12,+,a,15,=20,，求,a,1,+,a,20,例题分析,(2,）已知,a,3,+,a,11,=10,，求,a,6,+,a,7,+,a,8,(3),已知,a,4,+,a,5,+,a,6,+,a,7,=56,，,a,4,a,7,=187,，求,a,14,及公差,d,.,解：由,a,1,+,a,20,=,a,6,+,a,15,=,a,9,+,a,12,及,a,6,+,a,9,+,a,12,+,a,15,=20,，可得,a,1,+,a,20,=10,解：,a,3,+,a,11,=,a,6,+,a,8,=2,a,7,，,又已知,a,3,+,a,11,=10,，,a,6,+,a,7,+,a,8,=,（,a,3,+,a,11,）,=15,解：,a,4,+,a,5,+,a,6,+,a,7,=56,a,4,+,a,7,=28 ,又,a,4,a,7,=187,，解、得,a,4,=17,a,7,=11,a,4,=11,a,7,=17,或,d=,_,2,或,2,从而,a,14,=,_,3,或,31,课堂练习,1.,等差数列,a,n,的前三项依次为,a,-6,，,2,a,-5,，,-3,a+,2,，则,a,等于（,),A,.-1,B,.1,C,.-2,D.2,B,2.,在数列,a,n,中,a,1,=1,，,a,n,=,a,n+,1,+4,，则,a,10,=,2(2,a,-5)=(-3,a+2,)+(,a,-6,),提示,1:,提示：,d=a,n+,1,a,n,=-4,-35,3.,在等差数列,a,n,中,(1),若,a,59,=70,，,a,80,=112,，求,a,101,；,(2),若,a,p,=,q,，,a,q,=,p,(,pq,),，求,a,p+q,d=,2,a,101,=154,d=,-1,a,p+q,=,0,研究性问题,2.,已知,a,n,为等差数列，若,a,10,=20,，,d,=-1,，求,a,3,?,1.,若,a,12,=23,，,a,42,=143,，,a,n,=263,，求,n,.,3.,三数成等差数列，它们的和为,12,，首尾二数的,积为,12,，求此三数,.,d=,4,n,=72,a,3,=,a,10,+(3-10)d,a,3,=27,设这三个数分别为,a-d a,，,a+d,，则,3a=12,，,a,2,-d,2,=12,6,，,4,，,2,或,2,，,4,，,6,3.,更一般的情形，,a,n,=,，,d,=,小结：,1.,a,n,为等差数列,2.,a,、,b,、,c,成等差数列,a,n,+1,-,a,n,=d,a,n,+1,=a,n,+d,a,n,=,a,1,+,(,n-,1),d,a,n,=,kn +b,（,k,、,b,为常数）,a,m,+,(,n,-,m,),d,b,为,a,、,c,的等差中项,AA,2,b=a+c,4.,在等差数列,a,n,中，由,m+n=p+q,a,m,+,a,n,=,a,p,+,a,q,注意：上面的命题的逆命题,是不一定成立,的；,5.,在等差数列,a,n,中,a,1,+,a,n,a,2,+,a,n-,1,a,3,+,a,n-,2,=,=,=,