直线平面垂直的判定与性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,考纲要求,考纲研读,1.以空间直线、平面的位置关,系及四个公理为出发点认识,和理解空间中的垂直关系,2理解直线和平面垂直、平,面和平面垂直的判定定理,3理解并能证明直线和平面,垂直、平面和平面垂直的性,质,定理,4能用公理、定理和已获得,的结论证明一些空间位置关,系的简单,命题,.,1.从立体几何的有关定义、定理和,公理出发，通过直观感知、操作确,认、思辨论证，认识和理解空间中,线面垂直的有关性质和判定,2正确使用线面垂直判定的关键,是在平面内找到两条相交直线与,已知直线垂直；要证面面垂直可转,化为线面垂直明确线线、线面及,面面垂直的判定方法及相互转化,是正确解答有关垂直问题的关键,.,第5讲 直线、平面垂直的判定与性质,1直线与平面垂直,任意,垂直,(1)直线与平面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并,且和这个平面内的_一条直线都_，那么这条直线和这个,平面垂直,(2)直线与平面垂直判定定理：如果一条直线和一个平,面内的,两条,_直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面,(3)直线与平面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线,_,平行,相交,2平面与平面垂直,(1)平面与平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面，叫,做互相垂直的平面,(2)平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平,面的_，那,么这两个平面互相垂直,垂线,(3)平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那,么在一个平面内垂直于它们_的直线垂直于另一个平面,3直线与平面所成的角,(1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的,角等于 0.,交线,(2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于 90.,(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线,与平面所成的角，其范围是(0，90)斜线与平面所成的_,是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最_的角,4二面角,线面角,小,从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角从二,面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条,射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角平面角是直角,的二面角叫做_,直二面角,1垂直于同一条直线的两条直线一定(,),D,A平行,C异面,B相交,D以上都有,可能,2,A,，,B,为空间两点，,l,为一条直线，则过,A,，,B,且垂直于,l,的平面(,),B,A不存在,C有且只有 1 个,B至多 1 个,D有无,数个,4如图 1351，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，下列结论,D,图 1351,中正确的个数是(),BD,1,AC,；,BD,1,A,1,C,1,；,BD,1,B,1,C,.,A0 个,B1 个,C2 个,D3 个,3设直线,m,与平面,相交但不垂直，则下列说法中正确的是(),A在平面,内有且只有一条直线与直线,m,垂直,B过直线,m,有且只有一个平面与平面,垂直,C与直线,m,垂直的直线不可能与平面,平行,D与直线,m,平行的平面不可能与平面,垂直,B,5给定下列四个命题：,若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两,个平面相互平行；,若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互,垂直；,垂直于同一直线的两条直线相互平行；,若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的,直线与另一个平面也不垂直,其中，为真命题的是(,),D,A和,B和,C和 D和,考点1,直线与平面垂直的判定与性质,例,1,：,如图,352，已知矩形,ABCD,，过,A,作,SA,平面,AC,，,再过,A,作,AE,SB,于,E,点，过,E,作,EF,SC,交,SC,于,F,点,(1)求证：,AF,SC,(2)若平面,AEF,交,SD,于,G,，求证：,AG,SD,.,图 1352,解析：,(1),证明：,因为,BC,面,SAB,，且,AE,在面,SAB,内，,所以,AE,BC,.,又因为,AE,SB,，,SB,BC,B,，,所以,AE,面,SBC,.,而,SC,在面,SBC,内，,所以,AE,SC,.,又因为,EF,SC,，,EF,AE,E,，,所以,SC,面,AEF,.,而,AF,在面,AEF,内，所以,AF,SC,.,直线与直线垂直,直线与平面垂直平面与平,面垂直,直线与平,面垂直直线与直线垂直，通过直线与平面位,置关系的不断转化来处理有关垂直的问题出现中点时，平行要,联想到三角形中位线，垂直要联想到三角形的高；出现圆周上的,点时，联想直径所对圆周角为直角,【互动探究】,1如图 1353，,PA,O,所在的平面，,AB,是,O,的直径，,C,是,O,上的一点，,E,，,F,分别是,A,在,PB,，,PC,上的射影，给出下,面结论，其中正确命题的个数是(,),B,图 1353,AF,PB,；,EF,PB,；,AF,BC,；,AE,平面,PBC,.,A2 个,C4 个,B3 个,D5 个,解析：,正确，又,AF,平面,PBC,，错误,考点2,平面与平面垂直的判定与性质,例,2,：,(20,11,年江苏,),如图,1354,，在四棱锥,P,ABCD,中，,平面,PAD,平面,ABCD,，,AB,AD,，,BAD,60，,E,，,F,分别是,AP,，,AD,的中点,求证：(1)直线,EF,平面,PCD,；,(2)平面,BEF,平面,PAD,图 1354,BF,AD,BF,面,PAD,(,因为平面,PAD,平面,ABCD,),平面,BEF,平面,PAD,(,因为,BF,平面,BEF,)前者利用面,面垂直的性质定理，后者利用面面垂直的判定定理,证明：,(1),E,，,F,分别是,AP,，,AD,的中点，,EF,PD,.,又,PD,面,PCD,，,EF,面,PCD,，,直线,EF,平面,PCD,.,(2),AB,AD,，,BAD,60,，,F,是,AD,的中点，,BF,AD,.,又平面,PAD,平面,ABCD,，面,PAD,面,ABCD,AD,，,BF,面,PAD,.,平面,BEF,平面,PAD,.,【互动探究】,2(2011,年浙江,),下列命题中错误的是(,),D,A如果平面,平面,，那么平面,内一定存在直线平行于平,面,B如果平面,不垂直于平面,，那么平面,内一定不存在直线,垂直于平面,C如果平,面,平面,，平面,平面,，,l,，那么,l,平面,D如果平面,平面,，那么平面,内所有直线都垂直于平,面,解析：,因为若这条线是平面,和平面,的交线,l,，则交线,l,在平面,内，明显可得交线,l,在平面,内，所以交线,l,不可能垂直于平面,，平,面,内所有直线都垂直于平,面,是错误的,考点3,线面所成的角,例,3,：,如图,1355，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，求,A,1,B,与平面,A,1,B,1,CD,所成的角,图 1355,求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：,(1),先判断直线和平面的位置关系,(2)当直线和平面斜交时，常有,以下步骤：,作,作出或找到斜线与射影所成的角；证论证,所,作或找到的角为所求的角；算,常用解三角形的方法求角；,结论点,明斜线和平面所成的角值,【互动探究】,3如图 1356，在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,BC,2，,AA,1,1，则,AC,1,与平面,A,1,B,1,C,1,D,1,所成角的正弦值为(,),图 1356,答案：,D,图 D27,考点4,立体几何中的探索性问题,例,4,：,(20,11,年广东茂名一模,),如图,1357,，在四棱锥,P,ABCD,中，底面,ABCD,为菱形，,BAD,60，,Q,为,AD,的中点,(1)若,PA,PD,，求证：平面,PQB,平面,PAD,；,(2)点,M,在线段,PC,上，,PM,tPC,，试确定,t,的值，使,PA,平,面,MQB,.,图 1357,解析：,(1),如图,13,5,8,，连接,BD,，四边形,ABCD,菱形，,BAD,60，,ABD,为正三角形又,Q,为,AD,中点，,AD,BQ,.,PA,PD,，,Q,为,AD,的中点，,AD,PQ,.,又,BQ,PQ,Q,，,AD,平面,PQB,.,又,AD,平面,PAD,，,平面,PQB,平面,PAD,.,图,13,5,8,探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，,此类题目的条件或结论不完备要求解答者自己去探索，结合已,有条件，进行观察、分析、比较和概括它对学生的数学思想、,数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求它有利,于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，,使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程,【互动探究】,4(2011,年广东深圳一模,),如图,1359，,在四棱锥,S,ABCD,中，,AB,AD,，,AB,/,CD,，,CD,3,AB,，平面,SAD,平面,ABCD,，,M,是,线段,AD,上一点，,AM,AB,，,DM,DC,，,SM,AD,.,(1)证明：,BM,平面,SMC,；,图 1359,(1),证明：,平面,SAD,平面,ABCD,，平面,SAD,平面,ABCD,AD,，,SM,平面,SAD,，,SM,AD,，,SM,平面,ABCD,.,BM,平面,ABCD,SM,BM,.,四边形,ABCD,是直角梯形，,AB,/,CD,，,AM,AB,，,DM,DC,，,MAB,，,MDC,都是等腰直角三角形，,AMB,CMD,45,，,BMC,90.,BM,CM,.,SM,平面,SMC,，,CM,平面,SMC,，,SM,CM,M,，,BM,平面,SMC,.,(2),解：,三棱锥,C,SBM,与三棱锥,S,CBM,的体积相等，,由(1),知,SM,平面,ABCD,，,1证明线面垂直的方法,(1)用线面垂直的定义：若一直线垂直于平面内任一直线，这,条直线垂直于该平面,(2)用线面垂直的判定定理：若一直线垂直于平面内两条相交,直线，这条直线垂直于该平面,(3)用线面垂直的性质定理：若两平行直线之一垂直于平面，,则另一条直线也垂直于该平面,(4)用面面垂直的性质定理：若两个平面垂直，在一个平面内,垂直于交线的直线必垂直于另一个平面,(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么也垂直,于另一个平面,(6)如果两个相交平面都和第三个平面垂直，那么相交平面的,交线也垂直于第三个平面,2判定面面垂直的方法,(1)定义法：首先找二面角的平面角，然后证明其为直角,(2)用面面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的一条,垂线,3垂直于同一个平面的两条直线平行，是判定两条直线平行,的又一重要方法，是实现空间中平行关系和垂直关系在一定条件,下相互转化的一种手段,4本节教材中线面垂直的性质定理的证明用到反证法，反证,法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否,定等于肯定”，其中第一个否定是指否定结论，第二个否定是指,“逻辑推理结果否定了假设”,5常用定理：(1)过一点有且只有,一条直线与已知平面垂直,(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；,(3)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂,直于第二个平面的直线必在第一个平面内,1面面垂直的性质定理是证明线面垂直的依据和方法，在解,决二面角的问题中，作其平面角经常用到，应用定理的关键是创,设定理成立的条件：一是线在面内，二是线垂直于交线两个条,件同时具备才能推出线面垂直,2线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化是解决有关垂,直证明题的指导思想，既要注意一般的转化规律，又要看清题目,的条件，选择正确的转化方向，不能过于模式化复杂的题目不,是一次或两次就能完成，而是不断从某一垂直向另一垂直转化，,最终达到目的,