重积分的几何应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,重积分的应用,1.,能用重积分解决的实际问题的,特点,所求量是,对区域具有可加性,从定积分定义出发 建立积分式,用微元分析法,(,元素法,),分布在有界闭域上的整体量,3.,解题,要点,画出积分域、选择坐标系、确定积分序、,定出积分限、计算要简便,2.,用重积分解决问题的,方法,一、立体体积,曲顶柱体,的顶为连续曲面,则其体积为,占有,空间有界域,的立体的体积为,任一点的切平面与曲面,所围立体的体积,V,.,解,:,曲面,的切平面方程为,它与曲面,的交线在,xoy,面上的投影为,(,记所围域为,D,),在点,例,1.,求曲面,例,2.,求半径为,a,的球面与半顶角为,的,内接锥面所围成的立体的体积,.,解,:,在球坐标系下空间立体所占区域为,则立体体积为,二、曲面的面积,设光滑曲面,则面积,A,可看成曲面上各点,处小切平面的面积,d,A,无限积累而成,.,设它在,D,上的投影为,d,(,称为面积元素,),则,故有曲面面积公式,若光滑曲面方程为,则有,即,若光滑曲面方程为,若光滑曲面方程为隐式,则,则有,且,例,3.,计算双曲抛物面,被柱面,所截,解,:,曲面在,xoy,面上投影为,则,出的面积,A.,例,4.,计算半径为,a,的球的表面积,.,解,:,设球面方程为,球面面积元素为,方法,2,利用直角坐标方程,.,(,见书,P167),方法,1,利用球坐标方程,.,(,t,为时间,),的雪堆在融化过程中,其,侧面满足方程,设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为,已知体积减少的速率与侧面积成正比,(,比例系数,0.9,),问高度为,130 cm,的雪堆全部融化需要,多少小时,?,(2001,考研,),练习题,提示,:,记雪堆体积为,V,侧面积为,S,则,(,用极坐标,),由题意知,令,得,(,小时,),因此高度为,130cm,的雪堆全部融化所需的时间为,100,小时,.,