Jordan标准形简介

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,线性代数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,教学目的：,通过本节的教学使学生更深刻理解方阵相,似对角矩阵的内涵,了解不能相似于对角矩阵的方阵可相似,于Jordan标准形.,教学要求,：正确理解Jordan标准形的概念，掌握求一个方阵的初等因子组和化Jordan标准形的方法.,教学重点：,求一个方阵的初等因子组和化Jordan标准形的方法.,教学难点：,化方阵为Jordan标准形.,教学时间,：2学时.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,*6,Jordan标准形简介,第五章,*,6 Jordan标准形简介,我们在讨论方阵的对角化时知道,并不是所有的方阵都,能化成对角阵,那末,在普遍意义上,矩阵在相似关系下的最简,形是否存在?如果存在又取何种形式？Jordan标准形的相关,结果就完美地回答了这一问题.,Jordan标准形理论的建立需要较多的其它代数知识.限,于需要和可能，我们仅从实用的角度介绍Jordan标准形理论,的主要结果及Jordan标准形的具体求法.,6.1多项式矩阵及其初等变换,定义6.1,如果矩阵中每个元素都是变量,的多项式，则称该多项式为,的,多项式矩阵,，简称,-矩阵.,元素是数的矩阵称为,数元矩阵,，数元矩阵是特殊的多,项式矩阵.,第五章,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义6.2,对多项式矩阵,A,(,)的如下三种变换统称为初等变换.,i）用一个非零数,k,乘,A,(,)的某行（列）；,ii）将,A,(,)中的某行(列)的,g,(,)倍加于另一行(列)(其中,g,(,)是的,多项式)；,iii）互换,A,(,)的两行(列).,定义6.3,设,A,(,)和,B,(,)是两个同型的多项式矩阵，如果,A,(,)可以经过有限次初等变换化为,B,(,)，则说,A,(,)与,B,(,),等价,，记作,A,(,),B,(,).,对于,n,阶数元矩阵,A,，其特征矩阵,E,-,A,是一个特定的多项式矩阵.关于特征矩阵有如下的结论.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理6.1,对于,n,阶数元矩阵,A,，总有,其中,g,1,(,),g,2,(,),g,n,(,)都是首项系数为1的多项式.并且,|,E,-,A,|=,g,1,(,),g,2,(,),g,n,(,).（*）,由于,E,-,A,经过有限次的初等变换得到,G,(,)，根据初等变换对矩阵相应行列式的影响，可知|,G,(,)|与|,E,-,A,|最多相差非零常数倍.再注意到|,G,(,)|与|,E,-,A,|都是首项系数为1的多项式，便知（*）成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义6.4,对于,n,阶数元矩阵,A,，设,E,-,A,经过初等变换化为对角矩阵,G,(,).将,g,1,(,),g,2,(,),g,n,(,)中的每个非常数多项式做复数域上的标准分解，各分解式中的每一个一次因式方幂称为矩阵,A,的一个初等因子，初等因子的全体成为,A,的初等因子组.,例如,，对于2阶数元矩阵,A,，若有,则,A,的初等因子组为,，,-,1，,，,(,-,1),2,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由定义6.4 及（*）知：,1）方阵,A,的所有初等因子的乘积就是,A,的特征多项式；,2）每个初等因子都和矩阵,A,的某个特征值相应，即如果 是,A,的一个初等因子,则,i,一定是,A,的一个特征值；,3）,n,阶方阵,A,的所有初等因子幂次之和恰为,n,.,在此必须指出:方阵,A,与某一特征值相应的初等因子未必只有一个.因此,一般不能从,A,的特征多项式的标准分解式,直接得到初等因子组为,为求给定方阵,A,的初等因子组，需要对特征矩阵,E,-,A,进行适当的初等变换将其化为对角矩阵.这样的对角矩阵并,不惟一.由此会不会导致初等因子组的不同呢？可以证明，,在不计各初等因子组相互次序的意义下，给定方阵,A,的初,等因子组是惟一的，不会因为,E,-,A,所化成的对角矩阵不同,而有所改变.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.1,求矩阵,的初等因子组.,解,对,E,-,A,进行初等变换如下：,由此得,A,的初等因子为：(,-1),2,-5.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6.2 矩阵的Jordan标准形,定理6.2,在复数域上,如果,n,阶矩阵,A,的全部初等因子为,则,其中,定理6.2中的分块对角矩阵,J,称为,A,的,Jordan标准形,简称为Jordan形.Jordan形,J,中的各个小块,J,1,J,2,J,s,称为Jordan块.,显然,每个Jordan块,J,i,恰于,A,的一个初等因子 相对应.,在例6.1中，矩阵,A,的初等因子组为(,-1),-5,与之相应,的两个Jordan块为,于是,A,的Jordan标准形为,亦可以写成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.2,求矩阵,的Jordan标准形.,解,对,A,的特征矩阵,E,-,A,进行初等变换化为对角矩阵，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,与两个初等因子相应的Jordan小块分别为,对所得的对角矩阵主对角元素的非常数多项式进行复数域上的标准分解，可得,A,的初等因子组为,，(,+,1),2,.,于是可得,A,的Jordan标准形,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.3,求矩阵,的Jordan标准形.,解,对的特征矩阵,E,-,A,进行初等变换化为对角矩阵，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,的初等因子组为,，,-,1，,(,-,1),2,.,于是得,A,的Jordan标准形,1,0,对于给定的方阵,A,，在不计各Jordan块排列次序的意义下，,A,的Jordan标准形是惟一的.,2,0,方阵,A,的Jordan标准形,J,是上三角形矩阵，其主对角线上的元素恰是,A,的特征值.,3,0,对角矩阵本身即是Jordan形，它的每一个对角元都,是一个一阶的Jordan块.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理6.3,两个同阶方阵相似的充分必要条件是它们的,Jordan形一致（这里“一致”的含义是可以经过Jordan块排列,次序的调整而得到的相同的Jordan形）.,证明,必要性.设,A,B,，则有可逆矩阵,P,使,P,-1,AP,=,B,.于是,P,-1,(,E,-,A,),P,=,P,-1,P,-,P,-1,AP,=,E,-,B.,这说明,E,-,A,与,E,-,B,等价,它们可以经初等变换化为同一对角,矩阵,G,(,).因此,A,与,B,的初等因子组一致，进而Jordan形一致.,充分性.不妨设,A,与,B,的Jordan形同为,J,，则,A,、,B,同于,J,相似，因而,A,B.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理6.4,矩阵,A,能与对角矩阵相似的充分必要条件是,它的初等因子全为一次式.,证明,若,A,相似于对角矩阵,则,已是,A,的Jordan标准形.可见,A,的初等因子组为,-,1,，,-,2,，,-,n,.,它们全为一次式.,反之,若,A,的初等因子全为一次式,则,A,的所有的Jordan块全为一阶，,A,的Jordan形显然为对角矩阵.它当然与,A,相似.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.4,证明:如果,n,阶矩阵,A,的全部特征值是,1,2,n,则矩阵,A,m,的全部特征值恰是,1,m,2,m,n,m,(,这里,1,2,n,中可以有一些相同的数,).,证明,不妨设特征值,1,2,n,中相同的都顺序相邻,并,设,A,的Jordan形为,由,A,J,可知,A,m,J,m,.利用上三角形矩阵幂运算的结果可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,J,m,是上三角形矩阵,它的全部特征值就是全部主对角元,1,m,2,m,n,m,.,这也就是,A,的全部特征值.,与例6.4类似,可得如下定理:,定理6.5,(Frobenius)设,n,阶矩阵,A,的全部特征值是,1,2,n,则对任意多项式,f,(,),矩阵,f,(,A,),的全部特征值恰是,f,(,1,),f,(,2,),f,(,n,).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,小结：,1、方阵化成对角矩阵和化成化Jordan标准形的条件.,2、化Jordan标准形和化对角矩阵的区别与联系.,作业,:第5章标准化作业.,