隐函数与参量函数微分法,求导

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,隐函数与参量函数微分法,一、隐函数的导数,定义:,隐函数的显化,问题,:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,两边对,x,求导，当遇到,y,的函数,f,(,y,),时,将,求出的这些导数代入,得到关于,的,代数方程，,至于隐函数求二阶导数，与上同理,例1,解,解得,例2,解,所求切线方程为,显然通过原点.,例3,解,补证,反函数的求导法则,由,隐函数的微分法则,例4,解,例,5 求证抛物线,上任一点的切线,在两,坐标轴上的截距之和等于,a,证,故,曲线上任一点,处,切线的斜率为,切线方程为,故在两,坐标轴上的截距之和为,二、对数求导法,有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显函数,但直接求导有困难或很麻烦,观察函数,方法:,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.目的是利用对数的性质简化求导运算。,-对数求导法,适用范围:,例6,解,等式两边取对数得,例,7,解,这,函数的定义域,两边取对数得,两边对,x,求导得,两边取对数得,两边对,x,求导得,同理,例8,解,两边取对数得,两边对,x,求导得,例9,解,两边取对数得,两边对,x,求导得,例10,解,等式两边取对数得,一般地,三、由参数方程所确定的函数的导数,例如,消去参数,问题:,消参困难或无法消参如何求导?,参量函数,由复合函数及反函数的求导法则得,容易漏掉,例11,解,所求切线方程为,例,12,证,例,13,设,曲线,由极坐标方程,r=r(,),所确定，试求该,曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线,上点,处的,切线的直角坐标方程,解,由,极坐标和直角坐标的变换关系知,切线斜率为,故,切线的直角坐标方程为,例14,解,四、相关变化率,相关变化率问题:,已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?,例15,解,4000,m,水面上升之速率,五、小结,隐函数求导法则:,直接对方程两边求导;,对数求导法,:,对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导;,参数方程求导,:实质上是利用复合函数求导法则;,相关变化率,:,通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率;,解法:,通过建立两者之间的关系,用链 式求导法求解.,思考题,思考题解答,不对,