《gs高阶导数》PPT课件

设,y,=,f,(,x,),若,y,=,f,(,x,),可导,则,f,(,x,),是,x,的函数.若,f,(,x,),仍可导,则可求,f,(,x,),的导数.,记作(,f,(,x,)=,f,(,x,).,称为,f,(,x,),的二阶导数.,若,f,(,x,),仍可导,则又可求,f,(,x,),的导数,.,43高阶导数,一般,设,y,=,f,(,x,),的导数,y,=,f,(,x,),存在且仍可导,记,f,(,x,),的导数为,称为,f,(,x,),的三阶导数.,二阶导数.,称为,f,(,x,),的,称为,f,(,x,),的,n,阶导数.,二阶以上的导数都称为高阶导数.记,C,m,(I),为区间,I,上所有具有,m,阶连续导数的函数所成集合.为统一符号,有时记,y,(0),=,y,y,(1),=,y,y,(2),=,y,.,例1.,设物体作变速运动.在0,t,这段时间内所走路程为,S,=,S,(,t,),指出,S,(,t,),的物理意义.,解:,我们知道,S=V,(,t,).,而,S=V,(,t,),注意到,V,=,V,(,t,+,t,),V,(,t,),表示在,t,t,+,t,这段时间内速度,V,(,t,),的增量(改变量).,从而,故,即,S,=,V,(,t,)=,a,(,t,),为物体,在时刻,t,的加速度.,例2.,解:,从而,=0,例3.,解:,y=,nx,n,1,y=n,(,n,1),x,n,2,y,(3),=n,(,n,1)(,n,2),x,n,3,y,(,n,),=n,(,n,1)3 2 1,x,n,n,=,n,!,而,y,(,n,+1),=,(,n,!),=0,易见,若,f,(,x,),g,(,x,),均存在,n,阶导数,则,类似,设,f,(,x,)=,a,0,x,n,+,a,1,x,n,1,+,a,2,x,n,2,+,a,n,1,x,n,+,a,n,为,n,次多项式,则,f,(,n,),(,x,)=,a,0,n,!,而,f,(,n+,1),(,x,)=0,例4.,解:,(1),y=e,x,y=e,x,2,y,(3),=e,x,3,故,y,(,n,),=e,x,n,.,特别,取,=1,得(,e,x,),(,n,),=,e,x,(,a,x,),(,n,),=(,e,x,ln,a,),(,n,),取,=1,得(,e,x,),(,n,),=(1),(,n,),e,x,.,(2)由于,a,x,=,e,x,ln,a,由(1)得,=,a,x,(,ln,a,),n,=,e,x,ln,a,(,ln,a,),n,例5.,求,y,=,sin,x,的,n,阶导数,y,(,n,),.,解:,我们知道,y=,cos,x,y=,sin,x,y,(3),=,cos,x,y,(4),=,sin,x,但,y,(,n,),的通项公式难写,并且不好记.,从而,=,cos,x,例6.,设,y,=sin,2,x,求,y,(,n,),.,解:,y=(,sin,2,x),y=,(sin2,x,),=,sin2,x,.,=2,sin,x,co,x,例7.,求,y,=,ln,(1+,x,),的,n,阶导数.,解:,定理1.,设,u,=,u,(,x,),v,=,v,(,x,),在点,x,处具有,n,阶导数,则,u v,=,u,(,x,),v,(,x,),在点,x,处也有,n,阶导数,且,证:,用数学归纳法证明.,当,n,=1,时,(,uv,),=,uv,+,vu,公式成立.,设,n,=,m,时公式成立,即,两边求导,得到当,n=m,+1,时,有,例,8.,设,y,=,x,2,sin,ax,的10阶导数,y,(10),解：,y,=sin(,ax,),x,2,记,u,=,sin,ax,v,=,x,2,由于,v,(3),=,v,(4),=,v,(10),=0,而,故,例,9.,设,解：,注意到,故,由于,故,一般，若,则,y,可分解成,其中,A,B,可用待定系数法确定.,从而可按例9的方法求,y,(,n,),.,例,10.,求由方程,x,y,+,sin,y,=0,所确定的隐函数,y,=,y,(,x,),的二阶导数.,解：,先求,y,=,y,(,x,),的一阶导数.两边对,x,求导,y,是,x,的函数,解出,y,再求,y,将,y,的表达式代入得,例,11.,设,y=y,(,x,),由,e,x+y,xy,=1,所定,求,y,(0).,解：,方程两边对,x,求导,y,是,x,的函数,得,(1+,y,)e,x+y,y,xy,=0,易,见,当,x,=0,时,y,=0,且,y,(0)=1.,方程(1+,y,)e,x+y,y,xy,=0,两边再对,x,求导,此时,y,y,都是,x,的函数,有,y,e,x+y,+(,1+,y,),2,e,x+y,y,(,y,+,xy,)=0,即,y,e,x+y,+(,1+,y,),2,e,x+y,2,y,xy,=0.,将,x,=0,y,=0,及,y,(0)=1,代入,得,y,(0)=2,现在有参数方程,x,=,(,t,),因此,设参数方程,x,=,(,t,),y,=,(t),例,12.,设,x,=,a,cos,3,t,y,=,a,sin,3,t,求,解：,一阶导数,得到,x,=,a,cos,3,t,从而,例,13.,设,x,=,a,(,t,sin,t,),y,=,a,(1,cos,t,),求,解：,得到,x,=,a,(,t,sin,t,),从而,例14.,解:,x,=0,是分段函数,f,(,x,),的分段点.,由定义,f,(0)=(,f,(,x,)|,x,=0,因此,为讨论,f,(0),须求出,f,(,x,),及,f,(0).,(1),故,f,(0)=0.,(2)当,x,0,时,f,(,x,)=,sin,x,x,.,从而,f,(,x,)=,cos,x,1.,综合(1),(2),(3),故,f,(0),不存在.,例,15.,解：,f,(0)=0,当,x,0,时,即,f,(0)=0.,从而,f,(0)=0.,同理,f,(0)=0.,事实上,故,f,(3),(0),不,存在.,使,f,(,n,),(0),存在的最高阶数,n,=2.,例,16.,设,解：,法1.,x,t,=2.,第二个方程两边对,t,求导,y,是,t,的函数.,得,从而,即,x,t,=2.,从而,法,2.,消,参数,t,得,两边对,x,求导,得,即,