二次函数的教材分析

,*,第,6,章二次函数教材分析,一、本章教学内容及,课时安排,二、本章知识结构,实际问题,二次函数,二次函数的图象,二次函数的性质,二次函数的应用,目标,教学内容,参考课时（约,13,）,27,1,二次函数,1,课时,27,2,二次函数的图象与性质,5,课时,27,3,实践与探索,5,课时,章小结,2,课时,三、本章的地位和作用,“二次函数”这一章是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一，学生在学习了正比例函数、一次函数、反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是今后学习其它初等函数的基础，因此，这部分对学生学习函数内容有着承上启下的作用，对培养和提高学生用函数模型（函数思想）来解决实际问题，逐步提高分析问题，解决问题的能力有着一定的作用。,四、本章编写特点,（一）注重结论的探索,在本章中，一般二次函数的图象和性质是从最简单的二次函数出发逐步深入地探讨的。教科书通过设置观察、思考、讨论等栏目，引导学生探索相关的结论。,（二）注重知识之间的联系,学生在“一次函数”一章已经了解了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）、二元一次方程组的联系。本章专设一个专题，探讨二次函数与一元二次方程的关系，再次展示函数与方程的联系。这样安排一方面可以深化学生对一元二次方程的认识，另一方面又可以运用一元二次方程解决二次函数的有关问题。,（三）注重联系实际,二次函数与实际生活联系紧密。本章引言选取正方体表面积、最优化、拱桥、喷水等问题展示这种联系。在介绍二次函数的图象和性质时也穿插安排了一些实际问题。,课程学习目标：,1,通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；,2,会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；,3,会用配方法确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题；,4,会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解,。,六、本章教学目标,五、本章重要的数学思想方法,(,1,),数形结合思想,(2),建模思想,(3),函数思想,(4),化归思想,(5),配方法,中考考试说明,对,本章教学内容的要求,知识,基本要求,略高要求,较高要求,二,次,函,数,能结合实际问题情,境并理解二次函数的,意义,会用描点法画二次函,数的图象,通过对实际问题情境,的分析确定二次函数,的表达式；,能从图象上认识二次,函数的性质；,会用配方法或公式法,确定图像的开口方向、,顶点和对称轴；,会利用二次函数的图,像求一元二次方程,的近似解,能用二次函数解决简单的实际问题；,能解决与其他函数结合的实际问题,七、,本章重点、难点,1,重点,:,了解二次函数的含义,理解二次函数的图象及其性质,抛物线图象的平移问题,.,体会一元二次方程与二次函数的关系,能用二次函数解决实际问题,2,难点,:,二次函数图象特征及其性质,对二次函数与一元二次方程的关系理解与应用,.,应用二次函数解决实际问题能解决与其他函数结合的问题,1,在利用函数图像讨论二次函数的性质时，要放慢节奏，逐步理解、完善要充分结合点的坐标的意义及实际问题中包含的特定意义，来理解函数的图象与性质,.,2,加强数形结合的思想，,达到数形互补,，从而提高学生的分析能力,3,在讨论二次函数图象的对称轴和顶点坐标时，要尽量引导学生进行,图象与图象之间的比较，表达式与表达式之间的比较，建立图形和表达式之间的联系，,以达到学生对二次函数图象的对称轴、顶点坐标公式的理解,4,注意规律的理解与总结,强调解决实际问题的注意事项,.,（如平面直角坐标系的建立，横轴、纵轴的实际意义，自变量的取值范围等）,八、教学建议,(,一,),本章教学建议,5.,注意与学生已有知识的联系，减少对新概念、新知识接受的困难。,(,一次函数知识、待定系数法和整式配方、方程和不等式的知识等）,6.,创设丰富的现实情境，重视解决实际问题的教学，引导学生感受数学的价值,.,（重视学生对基本概念的理解和接受，防止形式化的罗列概念，再举例说明的做法,注意让学生叙述和交流，在应用和问题解决中加深理解，正确使用）,7.,充分利用教材的空间，积极组织和实施对不同学生、不同班级的多样化教学,.,概念的学习尽量结合本地的具体情境,突出学生的直观感知,引导学生通过探求不同实例中两个变量之间的关系,总结概括得出二次函数的定义,并对二次函数的定义进行辨析,加深认识。,（二）各小节具体教学建议,27.1,二次函数,27.2,二次函数的图象与性质,2.,用描点法作图,过程要明确规范,注重全体学生的动手参与,注意加强新旧知识的联系。,3.,每学完一种类型的函数,要引导学生不断总结,使其掌握方法。多描多画、交流或教师主动呈现辨析，数形结合。,1.,重视,由简到繁,从特殊到一般的探索过程；,通过,喷泉的水流、标枪的投掷，最优化，抛物线形状拱桥等问题的探究，展示二次函数与实际的联系，并运用二次函数的图象和性质加以解决，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。,利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解要注意解的范围、解的精确度以及如何达到所要求的精确度等。,27.3,实践与探索,(1),列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；,(2),在,自变量的取值范围,内，运用,公式法,或,通过配方,求出二次函数的最大值或最小值。,运用二次函数解实际问题的一般步骤：,2,、函数有四种表示形式：,语言表示、表格表示、图象表示、代数式表示。其中后三种是数学的形式,。,九、本章知识点归纳,1,、一般地，,y=ax,2,+bx+c(a,b,c,是常数，,a0),称为,y,是,x,的二次函数，它的图象是抛物线,.,3,、“五点一线法”作二次函数的图象步骤：（,1,）找出开口方向，求出顶点坐标、对称轴方程（,2,）根据图象的对称性，从顶点 开始，左右各取四个对称的点（通常取,(0,c),，,(x,1,0),，,(x,2,0),，,四点）（,列表、描点）,（,3,）用平滑的曲线连接（连线）,解析式,y=ax,2,y=ax,2,+k y=a(x-h),2,y=a(x-h),2,+k,y=ax,2,+bx+c,不,顶点坐标,同,点,对称轴,（,0,，,0,）（,0,，,k,）（,h,，,0,）,（,h,，,k,）,y,轴,y,轴 直线,x=h,直线,x=h,a,0,相 开口方向 向上,同 最值,点,在对称轴的左侧,y,随着,x,的增大而,增减性,减小,.,在对称轴的右侧,y,随着,x,的增,大而增大,a,0,向下,在对称轴的左侧,y,随着,x,的增大而增大,.,在对称轴的右侧,y,随着,x,的增大而减小,4,、类比归纳二次函数五种类型的图象性质,向右（,0,）、左（,0,）,平移个单位,向右（,0,）、左（,0,）,平移个单位,向右（,0,）、左（,0,）平移个单位,向上（,0,）、下（,0,）平移个单位,5,、二次函数五种类型的图象平移规律,（一般式）,y=ax,2,+bx+c y=a(x-h),2,+k,（顶点式）,配方,展开,y=ax,2,平 移,平 移,6.,常用的二次函数解析式的求法：,(1),一般式：,y=ax,2,+bx+c (,回避三元一次方程组,),(2),顶点式：,y=a(x-h),2,+k,(3),交点式：,y=a(x-x,1,)(x-x,2,),说明,:,已知任意三点坐标选用一般式；,(,若已知与,y,轴的交点,可先将,c,值直接代入函数解析式,使三元方程组变为二元,从而简化运算,),已知顶点坐标、对称轴或最值常可选用顶点式；,已知抛物线与,x,轴的两个交点坐标常选用交点式,.,一看二次项系数,a.(a,决定抛物线的开口方向,),开口向上,a,0,开口向下,a,0,三看常数项,c.(,c,决定抛物线与,y,轴交点位置,),6.,二次函数的图象“六看”,:,（,依形判数，由数思形）,二看,a,与,b,的符号,:(a,与,b,决定对称轴位置,),五看图象的走向定函数的增减性：（以对称轴为界）,左低右高,y,随,x,增大而增大,左高右低,y,随,x,增大而减小,六看部分图象对应的取值范围：,图象端点向,x,轴引垂线，由垂足对应的数看,x,的取值范围,;,图象端点向,y,轴引垂线，由垂足对应的数看,y,的取值范围,.,四看,b,2,-4ac,的符号,(,b,2,-4ac,决定抛物线与,x,轴交点的个数,),抛物线与,x,轴有两个交点，,b,2,-4ac,0,；,抛物线与,x,轴有一个交点，,b,2,-4ac,0,；,抛物线与,x,轴无交点，,b,2,-4ac,0.,学生画图象中容易出现的问题,1.“,三角”型,原因：只取了,3,个点，取点太少,2.“,对勾”型,原因：因为顶点坐标不明确，左右取点不对称,3.“,怪异”型,原因：（,1,）坐标计算错误,（,2,）描点时,位置不对,（,3,）连线时顺序不对,-2,二次函数,y=ax,2,+bx+c(a,0),的几个特例：,1,、当,x=1,时，,2,、当,x=-1,时，,3,、当,x=2,时，,4,、当,x=-2,时，,y=a+b+c,y=a-b+c,y=4a+2b+c,y=4a-2b+c,x,y,o,1,-1,2,练习：二次函数,y=ax,2,+bx+c(a,0),的图象如上图所示，那么下列判断正确的有（填序号）,.,abc0,b,2,-4ac0,a+b+c0,4a+2b+c0,4a-2b+c 0,b,2,4ac=0,b,2,4aco,a,0,抛物线开口向上,a,0,时,a,0,时,当,-,，随的增大而增大,当,，,最小,当,-,，随的增大而增大,当,，,最大,2a,b,2a,b,2a,b,4a,4ac-b,2a,b,2a,b,2a,b,4a,4ac-b,达标测试,1,、已知抛物线上的三点，通常设解析式为,_,2,、已知抛物线顶点坐标（,h,k,），通常设抛物线解析式为,_,3,、已知抛物线与,x,轴的两个交点,(x,1,0),、,(x,2,0),通常设解析式为,_,4,、已知二次函数图像上的两点（,x,1,h,）,(x,2,h),，,通常设解析式为,_,5,、当已知图象与,x,轴两交点的距离为,d,时，,通常,设解析式为,_,y=ax,2,+bx+c,(a0),y=a(x-h),2,+k,(a0),y=a(x-x,1,)(x-x,2,),(a0),y,=,a(x-x,1,)(x-x,2,),(a0),y=a(x-x,0,)x-(x,0,+d),(a0),达标测试,根据下列条件，求二次函数的解析式。,(1),、图象经过,(0,，,0),，,(1,，,-2),，,(2,，,3),三点；,(2),、图象的顶点,(2,，,3),，且经过点,(3,，,1),；,(3),、图象经过,(0,，,0),，,(12,，,0),，且最高点 的纵坐标是,3,。,中考考点,考试形式,以填空题、选择题、解答题为主。,以填空题、选择题的形式主要考察二次函数,的定义、图象、性质及二次函数的简单应用。,二次函数仍然是中考试题中后,3,道压轴题的重要内容之一，除了常规题型之外，还有许多与二次函数有关的实际问题，如利润问题、面积问题、投掷问题、水位问题、喷泉问题等。,在与其他知识相综合的题目当中，二次函数常作为基础部分，故在教学中要注意夯实基础，如,作图，识图，确定解析式,等，为解决综合题打下坚实的基础。,