第四章-解AX=b的迭代法(精品)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 解线性代数方程组的迭代法,三种基本的迭代方法及收敛条件,4.1,雅可比迭代,4.2,高斯,-,赛德尔,(Gauss-Seidel),迭代,4.3,超松弛迭代,求解线性方程组,Ax,=,y,，可用,直接法,。当,A,为稀疏矩阵时，直接法将破坏矩阵,A,的稀疏性。,我们可以对线性方程组进行等价变换，构造出等价方程,组,x,=,Mx,+,g,由此构造迭代关系式,例如，分解,A=N,-,P,，则,迭代法：,构造一个向量序列,x,(,k,),，使其收敛到某个极限向量,x,*,，即 则,x,*,就是线性方程组的解。,常用迭代方法：,雅可比迭代，高斯,-,赛德尔迭代，松弛迭代等。,4.1,雅可比迭代,迭代格式,线性方程组,Ax,=,y,，即,若,a,ii,0,i=,1,2,n,（,6.1,）可变为,记 则,写成矩阵形式,或简记为,对任意初始向量 构造迭代格式：,(4.2,),是称为,简单迭代,或,雅可比迭代,。,雅可比迭代矩阵,记,所以 称为,雅可比迭代矩阵,，,是,常数项向量,。,如果通过,(4.2,),构造的迭代序列,x,(,k,),收敛，即,则,x,*,为,Ax,=,y,的解，即,Ax,*=,y,。事实上，对,(4.2,),取极限得,迭代格式的收敛性,引理,4.1,(,线性代数定理,),设矩阵序列,则,（,证明见关治和陈景良编,数值计算方法,P410-412,）,定理,4.1,设迭代格式为,由初始向量,x,(0),产生的向量序列,x,(,k,),收敛的充分必要条件是,证明 必要性（,）,设 则由（,4.3,）得,(4.3),-,(4.4,),得,设第,k,次迭代的误差记为,充分性（,）,设,(,M,),1,证,x,(,k,),收敛,。,如果,(,M,),1,，,则,I,-,M,为非奇异矩阵。事实上，因,为,(,M,),1,，,i,0,称为松弛因子。将,(4.9,),变形为,(4.9,),或,(4.10,),称为,松弛迭代法,。迭代矩阵为,当,0,1,时，称为,低松弛迭代,；,当,1,2,时，称为,超松弛迭代,；,当,=,1,时，即为,高斯,-,塞德尔迭代,。,实际用计算机计算时，采用,(4.9,),的分量形式，即,雅可比迭代、高斯,-,塞德尔迭代,和,松弛迭代,均为,单步线性迭代,。,松弛迭代的收敛性,定理,4.6,松弛迭代收敛的必要条件是,0,2,。,即若松弛迭代收敛，则必有,0,2,。,证明,松弛迭代矩阵 其中，,如果松弛迭代收敛，由,定理,4.1,知，即,S,的所有特征值的绝对值均小于,1,。由特征方程的性质得,由（,1,）和（,2,）两式得,定理,4.7,如果系数矩阵,A,为严格对角占优，当松弛因子 时，则松弛迭代收敛。,证明类似于,定理,4.4,。,定理,4.8,若,A,为对称正定矩阵时，则当 时，松弛迭代收敛。,逆矩阵的计算,1.,用初等变换,2.,用伴随矩阵,3.,用逆矩阵的定义：,化为,n,个线性方程组：,用直接法或迭代法算出：,也就完成了逆矩阵 的计算。,