小波变换与多分辨率分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,小波变换和多分辨率处理,北京化工大学,小波变换使得图像压缩、传输和分析变得更快捷！,傅里叶变换与小波变换,傅里叶变换的基础函数是正弦函数。,小,波变换基于一些小型波，称为小波，具有变化的频率和有限的持续时间。,傅里叶变换与小波变换,频域分析具有很好的局部性，但空间域上没有局部化功能。傅里叶变换反映的是图像的,整体特征,。,一个乐谱，不光阐明了要演奏的音符（或频率），而且阐明了何时要演奏。而傅里叶变换，只提供了音符或频率信息，局部信息在变换过程中丢失了。,与Fourier变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，它通过,伸缩平移运算,对信号逐步进行多尺度细化，最终达到,高频处时间细分，低频处频率细分,，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节。,5.1 背景,为什么需要多分辨率分析？,如果物体的尺寸很小或对比度不高,高分辨率,如果物体尺寸很大获对比度很强,低分辨率,通常物体尺寸有大有小，或对比有强有弱同时存在,5.1.1,图像金字塔,一幅图像的金字塔是一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降低的图像集合,一个金字塔图像结构,金字塔的底部是待处理图像,的高分辨率表示，而顶部是,低分辨率近似。当向金字塔,的上层移动时，尺寸和分辨,率就降低。,5.1.1,图像金字塔,高斯和拉普拉斯金字塔编码,首先对图像用5*5的高斯模板作低通滤波，滤波后的结果从原图像中减去，图像中的高频细节则保留在差值图像里；然后，对低通滤波后的图像进行间隔采样，细节并不会因此而丢失,高斯和拉普拉斯金字塔编码,拉普拉斯金字塔编码策略,5.1.1,图像金字塔,5.1.1,图像金字塔,高斯和拉普拉斯金字塔,512,5.1.2 子带编码,在子带编码中，一幅图像被分解成一系列限带分量的集合，称为子带，它们可以重组在一起无失真地重建原始图像。,子带通过对输入进行带通滤波而得到。,双通道子带编码和重建,5.1.2 子带编码,完美重建滤波器族,QMF,正交镜像滤波器,CQF,共轭正交滤波器,5.1.2 子带编码,子带图像编码的二维,4,频段滤波器组,5.1.2 子带编码,5.1.2 子带编码,5.1.3 哈尔变换,哈尔变换,哈尔基函数是最古老也是最简单的正交小波。哈尔变换本身是可分离的，也是对称的，可以用下述矩阵形式表达：,T=HFH,其中，,F,是一个,N,N,图像矩阵，,H,是,N,N,变换矩阵，,T,是,N,N,变换的结果,5.1.3 哈尔变换,变换矩阵H包含基函数 ，它定义在连续闭区间,5.1.3 哈尔变换,N=4时,k,p,q,0,0,0,1,0,1,2,1,1,3,1,2,5.1.3 哈尔变换,N=2时,5.1.3 哈尔变换,哈尔基函数对图像的多分辨率分解,1、其局部统计数据相对稳定；,2、大多数值为零，便于压缩；,3、原始图像的粗和细分辨率近似可以从中提取。,5.2 多分辨率展开,函数的伸缩和平移,给定一个基本函数 ,则 的伸缩和平移公式可记为：,5.2 多分辨率展开,函数的伸缩和平移,函数的伸缩和平移,5.2 多分辨率展开,序列展开,信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开函数的线性组合。,其中，,k,是有限或无限和的整数下标，,a,k,是具有实数值,的展开系数， 是具有实数值的展开函数,如果展开是唯一的，f(x)只有一个a,k,系数与之对应，则 称为基函数。,5.2 多分辨率展开,可展开的函数组成了一个函数空间，被称为展开集合的闭合跨度，表示为：,5.2 多分辨率展开,尺度函数,5.2 多分辨率展开,尺度函数,任何j,k上的跨度子空间:,j,增大时，用于表示子空间函数的 范围变窄，,x,有较小变化即可分开。,随,j,增加,增大，允许有变化较小的变量或较细的细节函数包含在子空间中。,哈尔尺度函数,考虑单位高度、单位宽度的尺度函数：,V0展开函数都属于V1，V0是V1的一个子空间。,V,2,V,1,V,0,5.2 多分辨率展开,子空间的 展开函数可以被表示为子空间 的展开函数的加权和。,5.2 多分辨率展开,j，k置0,其中,5.2 多分辨率展开,哈尔尺度函数系数,对于单位高度、单位宽度的哈尔尺度函数系数是,5.2 多分辨率展开,小波函数,给定尺度函数，则小波函数 所在的空间跨越了相邻两尺度子空间,V,j,和,V,j+1,的差异。令相邻两尺度子空间,V,j,和,V,j+1,的差异子空间为,W,j,，则下图表明了,W,j,与,V,j,和,V,j+1,间的关系。,尺度及小波函数空间的关系,5.2 多分辨率展开,5.2 多分辨率展开,因为小波空间存在于由相邻较高分辨率尺度函数跨越的空间中，任何小波函数可以表示成尺度函数：,哈尔尺度函数系数：,哈尔小波函数系数：,5.3 一维小波变换,一维离散小波变换（,DWT,）,计算一维离散小波变换,考虑四点的离散函数：f(0)=1,f(1)=4,f(2)=-3,f(3)=0。因为M=4,J=2且由于j,0,=0,对x=0,1,2,3,j=0,1求和。将使用哈尔尺度函数和小波函数，并假定f(x)的4个采样值分布在基函数的支撑区上，基函数的值为1.,计算一维离散小波变换,重构原始函数,5.3 一维小波变换,一维离散小波变换,（DWT,）,Morlet,小波,5.3 一维小波变换,一维离散小波变换（,DWT,）,Mexihat,小波,5.3 一维小波变换,快速小波变换,FWT找到了相邻尺度系数间的一种令人惊喜的关系。,称为Mallat人字形算法，类似于两段子带编码。,5.4 二维离散小波变换,对于,MN,的离散函数,f,(,x,y,)的离散小波变换对为：,二维快速小波变换,5.4 二维离散小波变换,5.4 二维离散小波变换,基于小波变换的图像处理,计算一幅图像的二维小波变换,修改变换,计算反变换,基于小波的边缘提取,基于小波的噪声去除,2尺度，全局门限94.9093,最高分辨率细节系数置零,所有细节置零,5.5 小波分析在图像处理中的应用,小波的特点：,a）能量集中,b）易于控制各子带噪声,c）与人类视觉系统相吻合的对数特征。,d）突变信号检测中：由于分辨率随频率的不同而变化的 特点，能准确定位信号的上升沿和下降沿。,