正交矩阵及其性质

单击此处编辑母版标题样式,2024/10/6,1,4.3 正交矩阵及其性质,2024/10/6,2,定义6,设,A,为,n,阶方阵,如果,A,T,A,=,I,或,AA,T,=,I,就,称,A,为正交矩阵.(,A,-,1,=,A,T,),定理4,A,为,n,阶正交矩阵的充分必要条件是,A,的列（行）向量组为,R,n,的一组标准正交基.,证,设,按列分块为,a,1,a,2,.,a,n,2024/10/6,3,于是,因此,A,T,A,=,I,的充分必要条件是,此定理可作为判定正交矩阵的一种方法,2024/10/6,4,定理5,设,A,B,皆是,n,阶正交矩阵,则:(i)det,A,=1或,-,1;(ii),A,-,1,=,A,T,（充要条件）,;(iii),A,T,(即,A,-,1,)也是正交矩阵;(iv),AB,也是正交矩阵.,证,(i)det(,A,T,A,)=det(,I,)=1=(det(,A,),2,所以成立,(ii),A,T,A,=,I,当然就是,A,-,1,=,A,T,(iii)(,A,T,),T,A,T,=,AA,T,=,AA,-,1,=,I,所以,A,T,(即,A,-,1,)也是正交矩阵,从而,A,的行向量组也是,R,n,的一组标准正交基,(iv)由(,AB,),T,(,AB,)=,B,T,(,A,T,A,),B,=,B,T,B,=,I,即得,AB,也是正交矩阵.,2024/10/6,5,定理,方阵,A,为正交矩阵的充分必要条件是,A,的列向量构成标准正交组。,推论,1,方阵,A,为正交矩阵的充分必要条件是,A,的行向量构成标准正交组。,A,是正交矩阵,方阵,A,的列向量构成标准正交组,方阵,A,的行向量构成标准正交组,是正交矩阵,2024/10/6,6,例,现有标准正交组,求三维向量,使得矩阵,为正交矩阵,解,是标准正交组,2024/10/6,7,或,定义,若A为正交矩阵，则线性变换,称为,正交变换,。,定理,正交变换不改变向量的内积，从而不改变向量的模、夹角和距离。,2024/10/6,8,也就是说，若列向量,X,Y,R,n,在,n,阶正交矩阵,A,作用下变换为,AX,AY,R,n,则向量的内积与长度及向量间的夹角都保持不变,即(,AX,AY,)=(,X,Y,),|,AX,|=|,X,|,AX,AY,=,X,Y,.,证,(,AX,AY,)=(,AX,),T,(,AY,)=,X,T,(,A,T,A,),Y,=,X,T,Y,=(,X,Y,).当,Y,=,X,时,有(,AX,AX,)=(,X,X,),即|,AX,|=|,X,|,因此,所以,AX,与,AY,夹角与,X,Y,的夹角相同.,