插补与刀补计算原理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第二章 插补与刀补计算原理,21 概述,机床数控的轮廓控制,主要问题就是怎样控制刀具或工件的运动轨迹。无论是,硬件数控（NC）,系统，还是,计算机数控（CNC）,系统或者,微机数控（MNC）,系统，都必须有完成插补功能的部分，只是采取的方式不同而已。在CNC或MNC中，以软件（程序）完成插补或软、硬件结合实现插补，而在NC中有一个专门完成脉冲分配计算（即插补计算）的计算装置插补器。无论是软件数控还是硬件数控，其插补的运算原理基本相同，其作用都是根据给定的信息进行数字计算，在计算过程中不断向各个坐标发出相互协调的进给脉冲，使被控机械部件按指定的路线移动。,有关,插补算法,问题，除了要保证插补计算的精度之外，还要求算法简单。这对于硬件数控来说，可以简化控制电路，采用较简单的运算器。而对于计算机数控系统来说，则能提高运算速度，使控制系统较快且均匀地输给进给脉冲。,经过多年的发展，插补原理不断成熟，类型众多。从产生的数学模型来分，有,直线插补、二次曲线插补,等；从插补计算输出的数值形式来分，有基准脉冲插补（又称脉冲增量插补）和数据采样插补。在基准脉冲插补中，按基本原理又分为以区域判别为特征的逐点比较法插补，以矢量运算为基础的矢量判别法插补，兼备逐点比较和数字积分特征的比较积分法插补，等等。,2,2,逐点比较法,逐点比较法,，顾名思义，就是每走一步都要将加工点的瞬时坐标同规定的图形轨迹相比较，判断其偏差，然后决定下一步的走向，如果加工点走到图形外面去了，那么下一步就要向图形里面走；如果加工点在图形里面，那么下一步就要向图形外面走，以缩小偏差。这样就能得出一个非常接近规定图形的轨迹，最大偏差不超过一个脉冲当量。,在逐点比较法中，每进给一步都需要进行,偏差判别、坐标进给、新偏差计算和终点比较,四个节拍。,一、逐点比较法直线插补,如上所述，偏差计算是逐点比较法关键的一步。下面以第象限直线为例导出其偏差计算公式。,如图21所示，假定直线 OA的起点为坐标原点，终点A的坐标为A（x,e，,y,e,），P（x,i,，y,i,） 为加工点，若P点正好处在直线 OA上，那么下式成立：,若任意点 在直线 的上方（严格地说，在直线 与y轴所成夹角区域内），那么有下述关系成立：,亦即:,由此可以取偏差判别函数 为：,由的数值（称为“偏差”）就可以判别出P点与直线的相对位置。即：,对于图21的加工直线OA，我们运用上述法则，根据偏差判别函数值，就可以获得如图中折线段那样的近似直线。,但是按照上述法则进行F,ij,的运算时，要作乘法和减法运算，这对于计算过程以及具体电路实现起来都不很方便。对于计算机而言，这样会影响速度；对于专用控制机而言，会增加硬件设备。因此应简化运算，通常采用的是迭代法，或称递推法，即每走一步后新加工点的加工偏差值用前一点的加工偏差递推出来。,下面推导该递推式:,根据式（21）及式（22）可以看出，新加工点的偏差完全可以用前一加工点的偏差递推出来。,综上所述，逐点比较法的直线插补过程为每走一步要进行以下4个节拍（步骤），即,判别、进给、运算、比较,。,（1） 判别。根据偏差值确定刀具位置是在直线的上方（或线上），还是在直线的下方。,（2） 进给。根据判别的结果，决定控制哪个坐标（x或y）移动一步。,（3） 运算。计算出刀具移动后的新偏差，提供给下一步作判别依据。根据式（21）及式（22）来计算新加工点的偏差，使运算大大简化。,但是每一新加工点的偏差是由前一点偏差F,ij,推算出来的，并且一直递推下去，这样就要知道开始加工时那一点的偏差是多少。当开始加工时，我们是以人工方式将刀具移到加工起点，即所谓“对刀”，这一点当然没有偏差，所以开始加工点的F,ij,=0。,（4） 比较。在计算偏差的同时，还要进行一次终点比较，以确定是否到达了终点。若已经到达，就不再进行运算，并发出停机或转换新程序段的信号。,表,2-1,逐点比较法直线插补运算举例,序号,工,作,节,拍,第,1,拍,:,判别,第,2,拍,:,进给,第,3,拍,:,运算,第,4,拍,:,比较,1,F,00,=0,+x,F,10,= F,00,-y,e,=0-3= -3,E,7,= E,8,-1=7,2,F,10,(= -3)0,+x,F,21,= F,11,-y,e,=2-3= -1,E,5,= E,6,-1=5,4,F,21,(= -1) 0,+x,F,32,= F,22,-y,e,=4-3= 1,E,3,= E,4,-1=3,6,F,32,(= 1)0,+x,F,42,= F,32,-y,e,=1-3= -2,E,2,= E,3,-1=2,7,F,42,(= -2)0,+x,F,53,= F,43,-y,e,=3-3=0,E,0,=E,1,-1=0,到达终点,二、 逐点比较法圆弧插补,加工一个圆弧，很容易联想到把加工点到圆心的距离和该圆的名义半径相比较来反映,加工偏差,。这里，我们以第,象限逆圆弧为例导出其偏差计算公式。设要加工图,2,2,所示第,象限逆时针走向的圆弧，半径为,R,，以原点为圆心，起点坐标为,A( , ),对于圆弧上任一加工点的坐标设为,P(xi,yj,),，,P,点与圆心的距离,Rp,的平方为,，现在讨论这一加工点的加工偏差。,图,2-3,圆弧插补过程,若点,P(xi,yj,),正好落在圆弧上，则下式成立：,若点,P(xi,yj,),正好落在圆弧外侧，则,Rp,R,，即,若加工点,P(xi,yj,),正好落在圆弧内侧，则,Rp,R,，即,将上面各式分别改写为下列形式：,(,加工点在圆弧上,),(,加工点在圆弧外侧,),(,加工点在圆弧内侧,),取加工偏差判别式为：,运用上述法则，利用偏差判别式，即获得图,2,2,折线,所示的近似圆弧。,若点,P(xi,yj,),在圆弧外或圆弧上，即满足 的条件时,应向,x,轴发出一个负向运动的进给脉冲,(,x,),，即向圆内走一步。若,P(xi,yj,),在圆弧内侧，即满足 的条件，则向,y,轴发出一个正向运动的进给脉冲,(+,y,),，即向圆弧外走一步。为了简化偏差判别式的运算，仍用递推法来推算下一步新的加工偏差。,设加工点,P(xi,yj,),在圆弧外侧或圆弧上，则加工偏差为,x,坐标需向负方向进给一步,(,x,),，移到新的加工点,P(xi,yj,),位置，此时新加工点的,x,坐标值为,xi-1,，,y,坐标值仍为,yj,，新加工点,P(xi+1,yj,),的加工偏差为,设加工点,P(xi,yj,),在圆弧的内侧，则,那么，,y,坐标需向正方向进给一步,(+,y,),，移到新加工点,P(xi+1,yj,),，此时新加工点的,x,坐标值仍为,xi,y,坐标值则改为,yj+1,，新加工点,P(xi, yj+1),的加工偏差为,展开上式，并真理得,综上所述可知：当 时，应走,x,，新偏差为 ，动点,(,加工点,),坐标为 ；,当 ，应走,+,y,，新偏差为 ，动点,坐标为,可见，圆弧插补偏差计算的递推公式也是比较简单的。但计算偏差的同时，还要对动点的坐标进行加,1,、减,1,运算，为下一点的偏差计算做好准备。,和直线插补一样，除偏差计算外，还要进行终点判别计算。每走一步，都要从两坐标方向总步数中减去,1,，直至总步数被减为零,(,发终点到达信号,),时为止，才终止计算。,下面举例说明插补过程。设欲加工第,象限逆时针走向,的圆弧,(,见图,2,3),，,起点,A,的坐标是 ，终点,E,的坐标是 ，终点判别值：,加工过程的运算节拍见表,2,2,，插补后获得的实际轨迹如图,2,3,折线所示。,逐点比较法插补第,象限直线和第,象限逆圆弧的计算流程图分别见图,2,3,和图,2,4,。,图,2-3,圆弧实际轨迹,表,2-2,逐点比较法圆弧插补运算举例,图,2-4,直线插补计算流程图,图,2-5,圆弧插补计算流程图,三、 坐标转换和终点判别问题,1,象限与坐标变换,前面所讨论的用逐点比较法进行直线及圆弧插补的原理和计算公式，只适用于第,象限直线和第,象限逆时针圆弧那种特定的情况。对于不同象限的直线和不同象限、不同走向的圆弧来说，其插补计算公式和脉冲进给方向都是不同的。为了将各象限直线的插补公式统一于第,象限的公式，将不同象限、不同走向的,8,种圆弧的插补公式统一于第,象限逆圆的计算公式，就需要将坐标和进给方向根据象限等的不同而进行变换，这样，不管哪个象限的圆弧和直线都按第,象限逆圆和直线进行插补计算。而进给脉冲的方向则按实际象限和线型来决定，采用逻辑电路或程序将进给脉冲分别发到,+X,-X,+Y,-Y,四个通道上去，以控制机床工作台沿,X,和,Y,向的运动。,我们用,SR1,，,SR2,，,SR3,，,SR4,分别表示第,，,，,，,象限的顺时针圆弧，用,NR1,，,NR2,，,NR3,，,NR4,分别表示第,，,，,，,象限的逆时针圆弧，如图,2,6,（,a,）所示；用,L1,，,L2,，,L3,，,L4,分别表示第,，,，,，,象限的直线，如图,2,6,（,b,）所示。由图,2,6,可以看出：按第,象限逆时针走向圆弧,NR1,线型插补运算时，如将,x,轴的进给反向，即走出第,象限顺时针走向圆弧,SR2,；将,y,轴的进给反向,即走出,SR4,；将,x,和,y,轴两者进给都反向，即走出,NR3,。此时,NR1,，,NR3,，,SR2,，,SR4,四种线型都取相同的偏差运算公式，无须改变。,图,2-6,直线和圆弧不同象限的走向,还可以看出，按,NR1,线型插补时，把运算公式的坐标,x,和,y,对调，以,x,作,y,，以,y,作,x,，那么就得到,SR1,的走向。按上述原理，应用,SR1,同一运算公式，适当改变进给方向也可获得其余线型,SR3,，,NR2,，,NR4,的走向。这就是说，若针对不同象限建立类似于第,象限的坐标，就可得到与第,象限直线和第,象限逆圆的类似情况，从而可以用统一公式作插补计算，然后根据象限的不同发出不同方向的脉冲。图,2,6,（,a,）、（,b,）分别为,8,种圆弧和,4,种直线的坐标建立情况，据此可以得到表,2,3,的进给脉冲分配类型。,表,2-3 ,x,y,脉冲分配的,12,种类型,表,2,3,可以看出，对于直线（,G01,）来说，按照第,象限直线偏差计算公式得到的,x,和,y,脉冲，根据不同的象限，分配到机床不同坐标（,X,，,Y,）的正负方向上。即若是第,象限直线，则,x,应发往,+Y,坐标；若是第,象限直线，则,x,应发往,X,坐标，等等。,由此表可以得到发往,X,Y,坐标方向的脉冲分配逻辑式为,+X=G02,y,+G01,x,+G02,x,+G03,x,+G03,y,+G01,y,X=G03,x,+G03,y,+G01,y,+G02,y,+G01,x,+G02,x,+Y=G03,y,+G01,y,+G02,y,+G01,x,+G02,x,+G03,x,Y=G02,x,+G03,x,+G03,y,+G01,y,+G02,y,+G01,x,2,逐点比较法的终点判别,逐点比较法的终点判别方法大致有下列几种：,（,1,） 设置一个终点减法计数器,JE,，插补运算开始前记入该程序,x,及,y,坐标的加工总长（即,x,和,y,的位移总步数），在插补过程中，,x,或,y,向每走一步，就从总步数中减去,1,，直至,JE,中存数被减为零，表示到达终点。这种方法，前例已作介绍。,（,2,） 设置两个计数器,JEX,及,JEY,，分别控制两个坐标轴的加工长度。若沿,x,轴移动一步，从,JEX,中减,1,；同样，若沿,y,轴移动一步，从,JEY,中减,1,。当,JEX,及,JEY,中存数均被减为零时，表示到达终点。,（,3,） 设置一个终点减法计数器,JE,，插补运算开始前记入该程序,x,坐标轴（或,y,轴）上的投影加工总长度,Ex,（或,Ey,）,应选取,Ex,和,Ey,中较大的坐标值作为终点判别坐标。在插补过程中，若,JE,中寄存的是,Ex,，则每当沿,x,轴走一步，即从,JE,存数中减去,1,（若,JE,中寄存,Ey,，则每当沿,y,轴走一步，即从,JE,中减去,1,），直至,JE,存数被减为零，表示到达终点。逐点比较法除能插补直线和圆弧之外，还能插补椭圆、抛物线和双曲线等二次曲线。此法进给速度平稳，精度较高，无论是在普通,NC,系统还是在,CNC,系统中都有着非常广泛的应用。下面就来分析逐点比较法插补时的进给速度问题。,四、逐点比较法的合成进给速度,从前面的讨论知道，插补器向各个坐标分配进给脉冲，这些脉冲造成坐标的移动。因此，对于某一坐标而言，进给脉冲的频率就决定了进给速度。以 坐标为例，设 为以,“,脉冲,/s,”,表示的脉冲频率， 为以,“,mm/min,”,表示的进给速度，它们有如下的比例关系：,式中,为脉冲当量，以,“,mm/,脉冲,”,表示。,各个坐标进给速度的合成线速度称为合成进给速度或插补速度。对三坐标系统来说，合成进给速度 为,式中分别为 ， ， 三个方向的进给速度。,合成进给速度直接决定了加工时的粗糙度和精度。我们希望在插补过程中，合成进给速度恒等于指令进给速度或只在允许的范围内变化。但是实际上，合成进给速度 与插补计算方法、脉冲源频率及程序段的形式和尺寸都有关系。也就是说，不同的脉冲分配方式，指令进给速度 和合成进给速度 之间的换算关系各不相同。,现在，我们来计算逐点比较法的合成进给速度。,我们知道，逐点比较法的特点是脉冲源每产生一个脉冲，不是发向,x,轴（ ），就是发向,y,轴（ ）。令 为脉冲源频率，单位为,“,个脉冲,/s,”,，则有,从而,x,和,y,方向的进给速度 和 （单位为,mm/min,）分别为,合成进给速度 为,当 （或 ）时，也就是进给脉冲按平行于坐标轴的方向分配时有最大速度，这个速度由脉冲源频率决定，所以称其为脉冲源速度 （实质是指循环节拍的频率，单位为,mm/min,）。,合成进给速度 与 之比为,其插补速度 的变化范围为 ，最大速度与最小速度之比为,这样的速度变化范围，对一般机床来说已可满足要求，所以逐点比较法的进给速度是较平稳的。,2-3,数字积分法,数字积分法又称,DDA,法（,Digital Differential Analyzer),。,采用数字积分法进行插补，脉冲分配均匀，易于实现多坐标直线插补联动或描绘平面上各种函数曲线，精度也能满足要求，所以数字积分法在轮廓控制数控系统方面获得广泛的应用。下面分别介绍数字积分法的一般插补原理、直线和圆弧插补原理。,一、,DDA,的基本原理,由高等数学可知，求函数,y=,f(t,),对,t,的积分运算，从几何概念上讲，就是求此函数曲线所包围的面积,F,（如图），即,Y=,f(x,),y,i,Y,i+1,t=t,i+1,-t,i,y,t,o,t,o,=a,t,i,t,i+1,图,2-7,函数的积分,若把自由变量的积分区间,a,b,等分成许多有限的小区间,t,（其中,t,t,i+1,-t,i,），这样，求面积,F,可以转化成求有限个小区间面积之和，即,。数字运算时， ,t,一般取最小单位“,1,”，即一个脉冲当量 。,由此可见，函数的积分运算变成了变量的求和运算。当所选取的积分间隔 ,t,足够小时，则由求和运算代替求积运算所引起的可以误差不超过 允许的值。,二、,DDA,直线插补,设我们要对,xy,平面上的直线进行脉冲分配，直线的起点为坐标原点,0,，终点为,如图,2-8,所示。,0,V,图,2-8,合成速度与分速度的关系,y,x,假定,v,x,和,v,y,分别表示动点在,X,和,Y,方向的移动速度，则在,X,和,Y,方向上的移动距离微小增量,x,和,y,应为,x=,v,x,t,y=,v,y,t,对直线函数来说,v,x,和,v,y,是常数，则下式成立,(2-6),(2-5),式中,K,为比例系数。,在,t,时间内，,X,和,y,位移增量的参数方程为,动点从原点走向终点的过程，可以看作是各坐标系每经过一个单位时间间隔,t,分别以增量,Kx,e,和,Ky,e,同时累加的结果。经过,m,次累加以后，,x,和,y,分别都到达终点 ，即下式成立：,（,2-7,）,（,2-8,）,则,或,mK,=1,（,2-9,）,上式表明，比例系数,K,和累加次数,m,的关系是互为倒数。因为,m,必须是整数，所以,k,一定是小数。在选取,k,时主要考虑每次增量,x,或,y,不大于,1,，以保证坐标轴上每次分配进给脉冲不超过一个单位的步距，即,式中,X,e,和,Y,e,的最大容许值受控制机的位数及用几个字节存储坐标值所限制。如用,TP801(z80),单板机作控制机，用两个字节存储坐标值，因该单板机为,8,位机，故,X,e,和,Y,e,的最大容许寄存容量为,2,18,1,65535.,为满足,Kx,e,1,和,ky,e,1,的条件，即,则,如果取,则,即满足,Kx,e,1,的条件。这时累加次数为,次,一般情况下，若假定寄存器是,n,位，则,X,e,和,Y,e,的最大允许寄存量应为,2,n,-1,（各位全,1,时）次，若取,则,显然，由上式决定的,kX,e,和,kY,e,是小于,1,的，这样不仅决定了系数,K,，而且保证了,x,和,y,小于,1,的条件。因此，刀具从原点到达终点的累加次数,m,就有：,m=1/k=2,n,当,K=1/2,n,时，对二进制数来说，,Kx,e,与,x,e,的差别只在于小数点的位置不同，将,x,e,的小数点左移,n,位即为,Kx,e,。因此在,n,位内存中存放,x,e,和存放,Kx,e,的数字是相同的，只是认为后者的小数点出现在最高位数,n,的前面。,当用软件来实现数字积分法直线插补是，只要在内存中设定几个单元，分别用于存放,x,e,及其累加值,x,e,和,y,e,及其累加值,y,e,。将,x,e,和,y,e,赋一个初始值，在每次插补循环过程中，进行以下求和运算：,将运算结果的溢出脉冲,x,和 ,y,用来控制机床进给，就可走出所需的直线轨迹。,综上所述，可以得到以下结论：,数字积分法插补器的关键部件是累加器和被积函数寄存器，每个坐标方向就需要一个累加器和一个被积函数寄存器。一般情况下，插补开始前，累加器清零，被积函数寄存器分别寄存,x,e,和,y,e,；插补开始后，每来一个累加脉冲,t,被积函数寄存器里的内容在相应的累加器中相加一次，相加后的溢出作为驱动相应坐标轴的进给脉冲,x,（或,y,），而余数仍寄存在累加器中；当脉冲源发出的累加脉冲数,m,恰好等于被积函数寄存器容量,2,n,时，溢出的脉冲数等于以脉冲当量为最小单位的终点坐标，刀具运行到终点。,