函数的奇偶性与周期性

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,Page,*,单击此处编辑母版标题样式,按,Esc,键退出,返回目录,2.3函数的奇偶性与周期性,按,Esc,键退出,返回目录,按,Esc,键退出,返回目录,基础梳理自测,考点探究突破,按,Esc,键退出,返回目录,基础梳理自测,构建能力大厦的奠基石,按,Esc,键退出,返回目录,知识梳理,1.函数的奇偶性,答案,:,f(,-,x)=f(x)y轴f(,-,x)=,-,f(x)原点,按,Esc,键退出,返回目录,2.周期性,(1)周期函数:对于函数,y,=,f,(,x,),如果存在一个非零常数,T,使得当,x,取定,义域内的任何值时,都有,f,(,x,+,T,)=,那么就称函数,y,=,f,(,x,)为周期函,数,称,T,为这个函数的周期.,(2)最小正周期:如果在周期函数,f,(,x,)的所有周期中,的正,数,那么这个,正数就叫做,f,(,x,)的最小正周期.,答案,:,(1)f(x)(2)存在一个最小最小,按,Esc,键退出,返回目录,C.坐标原点对称D.直线,y,=,x,对称,2.函数,f,(,x,)=(,m,-,1),x,2,+2,mx,+3为偶函数,则,f,(,x,)在区间(,-,5,-,3)上().,A.先减后增B.先增后减,C.单调递减D.单调递增,基础自测,1.函数,f,(,x,)=,-,x,的图象关于().,A.,y,轴对称 B.直线,y,=,-,x,对称,答案：,D,答案：,C,按,Esc,键退出,返回目录,3.若,f,(,x,)是R上周期为5的奇函数,且满足,f,(1)=1,f,(2)=2,则,f,(3),-,f,(4)=().,A.,-,1B.1C.,-,2D.2,4.偶函数,f,(,x,)是以4为周期的函数,f,(,x,)在区间,-,6,-,4上是减函数,则,f,(,x,),在0,2上的单调性是,.,答案,:,单调递增,答案：,A,按,Esc,键退出,返回目录,思维拓展,1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点?它是函数具有奇偶性的什,么条件?,提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件.,2.若,f,(,x,)是偶函数且在,x,=0处有定义,是否有,f,(,x,)=0?奇函数呢?,提示:不一定,如,f,(,x,)=,x,2,+1是偶函数,而,f,(0)=1;若奇函数,f,(,x,)在,x,=0处有定,义,则一定有,f,(0)=0.,按,Esc,键退出,返回目录,n,0时,nT,是,f,(,x,)的一个周期.,4.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有多少个?,提示:存在,即,f,(,x,)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集,这样的,函数有无穷多个.,3.若,T,为,y,=,f,(,x,)的一个周期,那么,nT,(,n,Z)是函数,f,(,x,)的周期吗?,提示:不一定.由周期函数的定义知,函数的周期是非零常数,当,n,Z且,按,Esc,键退出按,Esc,键退出按,Esc,键退出按,Esc,键退出按,Esc,键退出按,Esc,键退出按,Esc,键退出,返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录,一、函数奇偶性的判定,【例1】判断下列函数的奇偶性.,(1)f(x)=+;,(3)f(x)=.,(2)f(x)=(x+1);,按,Esc,键退出,返回目录,解:(1)由,得x=,-,或x=,.,函数f(x)的定义域为,-,.,(2)要使f(x)有意义,则,0,解得,-,1x,1,显然f(x)的定义域不关于原点对称,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.,对任意的x,-,-,x,-,且f(,-,x)=,-,f(x)=f(x)=0,f(x)既是奇函数,又是偶函数.,按,Esc,键退出,返回目录,(3),-,2,x,2且x,0.,又f(,-,x)=,=,-,f(,-,x)=,-,f(x),即函数f(x)是奇函数.,函数f(x)的定义域关于原点对称,f(x)=,=,.,按,Esc,键退出,返回目录,1.定义法,方法提炼判定函数奇偶性的常用方法及思路:,按,Esc,键退出,返回目录,2.图象法,按,Esc,键退出,返回目录,3.性质法:(1)“奇+奇”是奇,“奇,-,奇”是奇,“奇奇”是偶,“奇,奇”,是偶;,(2)“偶+偶”是偶,“偶,-,偶”是偶,“偶偶”是偶,“偶,偶”是偶;,(3)“奇偶”是奇,“奇,偶”是奇.,提醒:(1)分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内,x,取值的任意性,应,分段讨论,讨论时可依据,x,的范围取相应的化简解析式,判断,f,(,x,)与,f,(,-,x,),的关系,得出结论,也可以利用图象作判断.,(2)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.,(3)性质法在小题中可直接运用,但在解答题中应给出性质推导的过程.,请做针对训练1,按,Esc,键退出,返回目录,二、抽象函数的奇偶性,【例2】函数,f,(,x,)的定义域,D,=,x,|,x,0,且满足对于任意,x,1,x,2,D,有,f,(,x,1,x,2,)=,f,(,x,1,)+,f,(,x,2,).,(1)求,f,(1)的值;,(2)判断,f,(,x,)的奇偶性并证明.,按,Esc,键退出,返回目录,解:(1)令x,1,=x,2,=1,有f(1,1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.,(2)f(x)为偶函数,证明如下:,定义域D=x|x,0关于原点对称.,令x,1,=x,2,=,-,1,有f(,-,1),(,-,1)=f(,-,1)+f(,-,1),解得f(,-,1)=0.,令x,1,=,-,1,x,2,=x,有f(,-,x)=f(,-,1)+f(x),f(,-,x)=f(x),f(x)为偶函数.,按,Esc,键退出,返回目录,1.利用函数奇偶性的定义,找准方向(想办法出现,f,(,-,x,),f,(,x,);,2.巧妙赋值,合理、灵活地变形配凑;,3.找出,f,(,-,x,)与,f,(,x,)的关系,得出结论.,提醒:抽象函数奇偶性的判断,关键是要充分理解题意,灵活选取变量,的值.,请做针对训练2,方法提炼抽象函数奇偶性的判断方法:,按,Esc,键退出,返回目录,A.,x,|,x,0B.,x,|,x,4,C.,x,|,x,6D.,x,|,x,2,三、函数奇偶性的应用,【例3,-,1】设偶函数,f,(,x,)满足,f,(,x,)=,x,3,-,8(,x,0),则,x,|,f,(,x,-,2)0=().,答案,:B,按,Esc,键退出,返回目录,f(x)=,f(x,-,2)=,由f(x,-,2)0得:,或,解得x4或x0,故选,B,.,解析:当x0,f(,-,x)=(,-,x),3,-,8=,-,x,3,-,8,又f(x)是偶函数,f(x)=f(,-,x)=,-,x,3,-,8.,按,Esc,键退出,返回目录,【例3,-,2】设,a,b,R,且,a,2,若定义在区间(,-,b,b,)内的函数,f,(,x,)=lg,是奇函数,则,a,+,b,的取值范围为,.,答案,:,按,Esc,键退出,返回目录,由,0,得,-,x,又f(x)定义区间为(,-,b,b),0b,-,2a+b,-,.,解析:f(x)在(,-,b,b)上是奇函数,f(,-,x)=,lg,=,-,f(x)=,-,lg,=,lg,=,对x(,-,b,b)成立,可得a=,-,2(a=2舍去).,f(x)=,lg,按,Esc,键退出,返回目录,【例3,-,3】设函数,f,(,x,)=,x,3,+,bx,2,+,cx,(,x,R),已知,g,(,x,)=,f,(,x,),-,f,(,x,)是奇函数.,(1)求,b,c,的值;,(2)求,g,(,x,)的单调区间与极值.,解:(1)f(x)=x,3,+bx,2,+cx,f(x)=3x,2,+2bx+c,g(x)=f(x),-,f(x),=x,3,+(b,-,3)x,2,+(c,-,2b)x+c,g(x)是一个奇函数,g(0)=0,得c=0,由奇函数定义f(,-,x)=,-,f(x)得b=3.,按,Esc,键退出,返回目录,(2)由(1)知g(x)=x,3,-,6x,从而g(x)=3x,2,-,6,由此可知,(,-,-,)和(,+,)是函数g(x)的单调递增区间;(,-,),是函数g(x)的单调递减区间.,g(x)在x=,-,时,取得极大值,极大值为4,;,g(x)在x=,时,取得极小值,极小值为,-,4,.,按,Esc,键退出,返回目录,1.已知函数的奇偶性求函数的解析式,抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产,生关于,f,(,x,)的方程,从而可得,f,(,x,)的解析式.,2.已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数.常常采用待定,系数法:利用,f,(,x,),f,(,-,x,)=0产生关于字母的恒等式,由系数的对等性可得,知字母的值.,3.奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的,单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.,请做针对训练3,方法提炼函数奇偶性的应用:,按,Esc,键退出,返回目录,考点探究突破,拓展升华思维的加油站,按,Esc,键退出,返回目录,四、函数的周期性及其应用,【例4】已知定义在R上的奇函数,f,(,x,)的图象关于直线,x,=1对称,f,(,-,1)=1,则,f,(2 008)+,f,(2 009)+,f,(2 010)+,f,(2 011)=,.,解析:由已知得f(0)=0,f(1)=,-,1,又f(x)关于x=1对称,f(x)=f(2,-,x)且T=4,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(3,-,4)=f(,-,1)=1,f(2 008)=f(0)=0,f(2 009)=f(1)=,-,1,f(2 010)=f(2)=0,f(2 011)=f(3)=1.,f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0.,答案,:0,按,Esc,键退出,返回目录,方法提炼关于函数周期性常用的结论:,(1)定义在R上的函数,f,(,x,),若有两条对称轴,x,=,a,x,=,b,则,f,(,x,)是周期函,数且2|,a,-,b,|是它的一个周期;若有两个对称中心(,a,0),(,b,0),则,f,(,x,)是周,期函数且2|,a,-,b,|是它的一个周期;若有一个对称中心(,a,0)和一条对,称轴,x,=,b,则,f,(,x,)是周期函数且4|,a,-,b,|是它的一个周期.,按,Esc,键退出,返回目录,(,x,+,a,)=,或,f,(,x,+,a,)=,-,(,a,是常数且,a,0),则,f,(,x,)是以2,a,为一个周,期的周期函数.,(3)如果,T,是函数,y,=,f,(,x,)的周期,则,kT,(,k,Z且,k,0)也是,y,=,f,(,x,)的周期,即,f,(,x,+,kT,)=,f,(,x,);若已知区间,m,n,(,m,n,)的图象,则可画出区间,m,+,kT,n,+,kT,(,k,Z且,k,0)上的图象.,(2)若对于函数,f,(,x,)的定义域内任一个自变量的值,x,都有,f,(,x,+,a,)=,-,f,(,x,)或,f,请做针对训练,4,按,Esc,键退出,返回目录,本课结束,谢谢观看,