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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高三总复习 数学,(大纲版),第二节离散型随机变量的期望与方差,考纲要求,1.了解离散型随机变量的期望、方差与标准差的定义；并会利用它们的定义解决一些实际问题,2会根据离散型随机变量的分布列求出其期望与方差.,考试热点,从近几年的高考情况看，本节是高考的热点内容之一，是每年的必考内容，且大多以解答题的形式出现，考查离散型随机变量的期望和方差，难度不大,预计在今后的高考中本节仍以解答题的形式出现，难度以中、低档为主，考查随机变量的期望与方差.,1期望,(1)概念,若离散型随机变量,的概率分布为,则称,E,为,的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称期望，它反映了离散型随机变量取值的,x,1,p,1,x,2,p,2,x,n,p,n,平均水平,(2)性质,E,(,C,),(,C,为常数),若,是随机变量，,a,b,，则,E,(,a,b,),.,(3),E,是一个实数，由,的分布列唯一确定，即作为随机变量的,是可变的，可取不同的值，而,E,是不变的，它描述,取值的平均状态,aE,b,C,2方差,(1)概念,如果离散型随机变量,所有可能取的值是,x,1,，,x,2,，,x,n,，且取这些值的概率分别是,p,1,，,p,2,，,p,n,，设,E,是随机变量,的期望，那么把,D,叫做随机变量,的均方差，简称,的算术平方根叫做随机变量,的,，记作,.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的,的程度其中标准差与随机变量本身有,(,x,1,E,),2,p,1,(,x,2,E,),2,p,2,(,x,n,E,),2,p,n,方差,标准差,稳定与波动、集中与离散,相同的单位,(2)性质,D,(,C,)0(,C,为常数),D,(,a,b,),.,3二项分布与几何分布的期望与方差,(1)二项分布,若,B,(,n,，,p,)，则,E,，,D,(2)几何分布,若,服从几何分布，则,P,(,k,),g,(,k,，,p,)，,a,2,D,np,np,(1,p,),E,，,D,.,1随机变量,的分布列如下表，则,的数学期望是,(),B2.1,C2.2 D随,m,的变化而变化,1,2,3,P,0.2,0.5,m,解析：,0.20.5,m,1，,m,0.3，,E,10.220.530.32.1，,故选B.,答案：,B,2今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为,，则,E,等于 (),A0.765 B1.75,C1.765 D0.22,解析：,的可能取值为0,1,2，,P,(,0)0.10.150.015，,P,(,1)0.90.150.10.850.22，,P,(,2)0.90.850.765，,E,0.2210.76521.75.,答案：,B,3某网络公司拥有100台电脑，每台电脑每天出现故障的概率均为0.015，且电脑之间的工作是相互独立的，则一天该公司出现故障的电脑台数,的期望与方差分别为_、_.,解析：,电脑台数,服从二项分布,B,(100,0.015)，,的期望为,E,1000.0151.5，,方差,D,1000.015(10.015)1.4775.,答案：,1.51.4775,4一射手打靶射击，直到第一次中靶为止他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗子弹，射击结束后剩余子弹数目,的数学期望,E,_.,解析：,P,(,2)0.9，,P,(,1)0.10.90.09，,P,(,0)0.1,3,0.1,2,0.90.01，,由此可得,E,20.910.0900.011.89.,答案：,1.89,例1(2009广东高考)已知离散型随机变量,X,的分布列如下表若,EX,0，,DX,1，则,a,_，,b,_.,分析根据随机变量概率分布列的性质、期望和方差的计算公式，通过建立方程组解答,拓展提升解本题要使用概率分布列的性质、期望和方差的计算公式，在解题时一定要保证所使用的知识准确，这是正确解题的前提解本题三个方程得出结果后要注意检验,例2某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数,的分布列为：,12345,P,商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元,表示经销一件该商品的利润,1,2,3,4,5,P,0.4,0.2,0.2,0.1,0.1,()求事件,A,：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率,P,(,A,)；,()求,的分布列及期望,E,.,分析(1)先求对立事件的概率,P,()；,(2),的可能取值,200,250,300,，利用互斥事件的概率加法公式求概率,(2),的可能取值为200元，250元，300元,P,(,200),P,(,1)0.4，,P,(,250),P,(,2),P,(,3)0.20.20.4，,P,(,300)1,P,(,200),P,(,250),10.40.40.2，,的分布列为：,E,2000.4,2500.4,3000.2,240(,元,),200,250,300,P,0.4,0.4,0.2,拓展提升(1)利用对立事件的概率求原事件的概率是求概率的常用方法之一(间接法)；,(2),求数学期望的关键是求分布列，求分布列的关键是求概率,某运动员射击一次所得环数,X,的分布列如下：,现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为,.,(1)求该运动员两次都命中7环的概率；,(2)求,的分布列；,(3)求,的数学期望,E,.,X,06,7,8,9,10,P,0,0.2,0.3,0.3,0.2,解：,(1)该运动员两次都命中7环的概率为：,p,P,(两次都命中7环)0.20.20.04.,(2),P,(,m,),P,(一次命中,m,环，另一次命中的环数小于,m,),P,(两次命中,m,环)，,P,(,06)200000，,P,(,7)20.200.20.20.04，,P,(,8)20.30.20.30.30.21，,P,(,9)20.3(0.20.3)0.30.30.39，,P,(,10)20.2(0.20.30.3)0.20.20.36.,故,的分布列为：,(3),的数学期望,E,70.0480.2190.39100.369.07.,06,7,8,9,10,P,0,0.04,0.21,0.39,0.36,例3某一大学毕业生参加某一公司的笔试，共有5个问题需要解答，如该同学答对每个问题的概率均为 ，且每个问题的解答互不影响,(1)求该同学答对问题的个数,的期望与方差；,(2)设答对一个题目得10分，否则扣一分，求该同学得分,的期望与方差,分析,解答该,5,个问题可以认为是,5,次独立重复试验，答对问题的个数,服从二项分布，求,的期望与方差可通过,与,的线性关系间接求出,拓展提升(1)当求随机变量,的期望与方差时，可首先分析,是否服从二项分布，如果服从，则用公式求解，可大大减少运算量,(2)注意利用,E,(,a,b,),aE,b,及,D,(,a,b,),a,2,D,求期望与方差,某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5,0.6,0.4.经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率为0.6,0.5,0.75.,(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；,(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为,，求随机变量,的期望,从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从方差考察甲较稳定从至少完成2题的概率考察，甲通过的可能性大因此可以判断甲的实验操作能力较强,(2)设,表示10万元投资乙项目的收益，则,的分布列为：,2,2,P,1离散型随机变量的期望和方差,求离散型随机变量期望和方差的方法：,(1)定义法：写出随机变量的分布列，用期望和方差的定义求解,(2)性质法：利用性质：,E,(,a,b,),aE,b,D,(,a,b,),a,2,D,求解；,(3)公式法：利用两点分布、二项分布的期望和方差公式求解,2期望和方差的性质,E,(,a,b,),aE,b,E,(,),E,E,D,(,a,b,),a,2,D,3二项分布的期望和方差,若,B,(,n,，,p,)，则,E,np,，,D,np,(1,p,),4对于应用问题，首先要审好题，把实际问题转化为数学问题，设出随机变量，求出分布列，利用定义计算随机变量的期望和方差,
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