上海交大数值分析课件数值分析2-3(牛顿插值法)

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,3,差商与牛顿插值,一、差商及其性质,三、牛顿插值公式,四、牛顿插值法举例,二、差商的计算,五、牛顿插值法特点,一、差商及其性质,1.,差商的定义,二阶差商,函数,关于,一,阶差商,x,i,x,j,一般的,k,阶差商,定义为,特别地，,f(x,),关于一个点,x,i,的,零阶差商,定义为函数值本身，即,1.,差商与节点的排列次序无关，称为差商的,对称性,;,性质：,2.,高阶差商可由低阶差商反复作一阶差商得到，计算具有,递推性,3.,若,f,(,x,),在,a,b,上存在,n,阶导数，则,思考题：,设,f,(,x,)=,x,3,，,则,f,x,0,x,1,x,2,x,3,=,?,f,x,0,x,1,x,2,x,3,x,4,=,?,答：,1,0,二、差商的计算,x,i,f,(,x,i,),一,阶差商,二阶差商,三阶差商,x,0,x,1,x,2,x,3,f,(,x,0,),f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,3,),f,x,0,x,1,f,x,1,x,2,f,x,2,x,3,f,x,0,x,1,x,2,f,x,1,x,2,x,3,f,x,0,x,1,x,2,x,3,例,已知函数,y,=,f,(,x,),的观测数据如下，试构造差商表，并求,f,2,4,5,6,的值,x,0 2 4 5 6,f,(,x,),1 5 9 -4 13,解,构造差商表如下,x,i,f,(,x,i,),一阶,二阶,三阶,四阶,0,2,4,5,6,1,5,9,-4,13,2,2,-13,17,0,-5,15,-1,5,1,由表,可知,f,2,4,5,6,=5,二、牛顿差商插值多项式,由,差商定义,可得,又,代入得,插值余项,牛顿插值,多项式,n=1,n=2,牛顿插值与拉氏插值的比较：,注：,牛顿插值只需增加一项，,拉氏插值需要重新计算！,1.,由插值多项式的唯一性，两余项是,等价,的，即,2.,牛顿插值法,由差商表中的差商值可判断出插值多项式的次数，而拉氏插值法则要计算到最后。,两点说明：,例,已知函数,y,=,f,(,x,),的观测数据如下，试用全部节点构造牛顿差商插值多项式，并用二次插值求,f,(3),的近似值。,x,0 2 4 5 6,f,(,x,),1 5 9 -4 13,四、牛顿插值法举例,解,构造差商表如下,x,i,f,(,x,i,),一阶,二阶,三阶,四阶,0,2,4,5,6,1,5,9,-4,13,2,2,-13,17,0,-5,15,-1,5,1,由表,可知,用二次,插值求,f,(3),时，取,x,0,=2,x,1,=4,x,2,=5,得,思考：,若本题只给出前三个点，结果如何？请你总结牛顿插值法何时停止？,五、牛顿插值法的特点,特点,1.,计算量省，便于程序设计,2.,具有承袭性的插值公式，便于理论分析,作业：,习题,7,8,