习题课二重积分的计算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,习题课 二重积分的计算,二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分的步骤是：,作出积分区域的草图,选择适当的坐标系,选定积分次序，定出积分限,1。关于坐标系的选择,这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑,一、主要内容,被积函数呈,常用极坐标,其它以直角坐标为宜,2。关于积分次序的选择,选序原则,能积分，少分片，计算简,3。关于积分限的确定,二重积分的面积元,为正,确定积分限时一定要保证下限小于上限,积分区域为圆形、扇形、圆环形,看图定限,穿越法定限,和,不等式定限,先选序，后定限,直角坐标系,。先,y,后,x,，,过任一,x,a,b,作平行于,y,轴的直线,穿过D的内部,从D的下边界曲线,穿入,内层积分的下限,从上边界曲线,穿出,内层积分的上限,。先,x,后,y,过任一,y,c,d,作平行于,x,轴的直线,定限,左边界,内层积分的下限,右边界,内层积分的上限,则将D分成若干个简单区域,再按上述方法确定每一部分的上下限,分片计算，结果相加,极坐标系,积分次序一般是,过极点O作任一极角 为,的射线,从D的边界曲线,穿入,从,穿出,。如D须分片,内下限,内上限,具体可分为三种情况,极点在D的边界上,是边界在极点处的切线的极角,绝大多数情况下为0,极点在D的内部,化累次积分后,外限是常数,内限是外层积分变量的函数或常数,极坐标系下勿忘,r,极点在D的外部,4。关于对称性,利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是,要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，,不可误用,对,若D关于,x,轴对称,若D关于,y,轴对称,若D关于,原点,对称,称为关于积分变量的轮换对称性,是多元积分所独有的性质,奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于 对称区间上奇偶函数的定积分的性质,简述为,“,你,对称，我,奇偶,”,、简单地说就是,若 D 关于,直线,y,=,x,对称,5 关于二重积分的换元法,f,(,x,y,)在D上连续,变换T：,x,=,x,(,u,v,),y,=,y,(,u,v,),将,uov,平面上的闭区域D,1,变成,xoy,平面的闭区域D,（1）,x,=,x,(,u,v,),y,=,y,(,u,v,)在D,1,上具有连续的一阶偏导数,（2）在D,1,上,基本要求:,变换后定限简便，求积容易,注意,二、例题分析,例1 计算,解,积分区域由不等式给出,在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆,但它们围不成区域,都有意义,必须限制,因此D只能在,x,=0,，x,=2 之间,确定了积分区域后，再看被积函数结合积分区域的特点，化成极坐标计算较为简单,显然,r,呢？,极点在D的边界上，所以,那就错了,不能以为极点O在区域的边界上,就误以为对,r,积分的下限为0,定,r,的积分限，应先固定,以原点为起点作射线,这射线和两个半圆相交,穿入,从,从,穿出,积分限如何确定,尽管极点在D的边界上,但极角为,的射线并不是从极点穿入,而不是,域D的极坐标表示为,解,D关于,x,y,轴及原点及,y,=,x,对称,故,故,例2 计算,解,例3 计算,D,1,D,2,解,D的边界,极点在D的边界上,圆周在(0,0)的切线斜率为,故,例4 计算,例5 计算,D,2,D,1,解,（和差化积）,例6,设,f,(,x,)在 0,1 上连续,求,解,D,试将二重积分,化成定积分,解,由积分域和被积函数的对称性,有,用极坐标,例7,为将二次积分化为所需要的定积分，须变换积分次序,D,D,1,依题意，要化为定积分首先应设法将二元函数,化为一元函数,自然想到用极坐标,其次，若先对,r,后对 不可进一步化为定积分,又想到换序,例8,设,f,(,x,)连续，证明,注,证一,令,则,u,v,证二,x,y,证三,记,则,（分部积分）,