资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十章 重积分10-1 二重积分的概念与性质,定义 设 是有界闭区域D上的有,界函数，将闭区域D任意分成 个小闭,区域,其中 表示第 个小闭区域，,也表示它的面积，,在每个 上任取一点 作乘,积 并作和,如果当各个小闭区域的直径,中的最大值 趋于零时，这和的极限,总存在，则称此极限为函数 在,闭区域 D 上的二重积分，,记作 即,其中 叫做被积函数，,叫做被积表达式， 叫做面积元素，,叫做积分变量，D 叫做积分区,域， 叫做积分和。,例1据二重积分的性质，比较下列积分,的大小,其中积分区域是由圆周,所围成。,例利用二重积分的性质，估计积,分,的值，其中D是圆周,所围成的闭区域。,10-2 二重积分的计算法,例1 计算 ，,其中D是由直线,所围成的闭区域。,例2计算,其中D是由直线,所围成的闭区域。,例计算,其中D是由抛物线,及直线,所围成的闭区域。,例求两个底圆半径都等于,的直交圆柱面所围成的立体,的体积。,例计算,其中D由,围成。,例改换积分的积分次序 。,例计算二重积分,其中积分区域D是由,确定。,例计算,例计算,其中,由 及,所围成的闭区域。,定理 设 平面上的闭区域,D上连续，变换,将 平面上的闭区域,平面上的D，且满足,上具有一阶,连续偏导数；,上雅可比式,是一对一的，,则有,公式（8）称为二重积分的换元公式,例10求直线,所围成的闭区域D的面积 。,例11计算,其中D是由中心在原点半径为,的圆周所围成的闭区域。,例12将,化成极坐标形式下的二次积分。,例13求球体,被圆柱面,所截得的（含在圆柱面内的部分）,立体的体积。,例14设 内,连续，试将二重积分,化成先对 后对 的积分，,其中 。,例15计算积分,例16计算,为由不等式,所围成的闭区域。,10-3三重积分,定义 设 是空间有界闭区域,上的有界函数，将 任意分成,个小闭区域,其中 表示第 个小闭区域，也,表示它的体积，,在每个 上任取一点 作乘,积 并作和,如果当各小区域直径中,的最大值 趋于零时这和的极限总存,在，,则称此极限为函数 在闭区,域 上的三重积分，记作,其中 叫做体积元素。,例1计算三重积分,其中 为三个坐标面及平面,所围成的闭区域。,例2计算三重积分,其中 是由椭球面,所围成的空间闭区域。,例3计算,其中 是由锥面,与平面,所围成的闭区域。,例4计算下列三重积分,例5利用柱面坐标计算三重积分，,其中 是由曲,面 与平面,所围成的闭区域。,例6求半径为 的球面与半,顶角为 的内接锥面所围成,的立体的体积。,例7求,其中闭区域 由不等式,确定。,例8计算,其中 为,。,例9.计算 ，,其中 由,确定。,10-4 重积分的应用,例1求半径为 的球的表,面积。,例2设有一颗地球同步轨道通,讯卫星，距地面的高度为,h=36000km，运行的角速度与地,球自转的角速度相同，试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值（地球半径R=6400km）。,例3求位于两圆,之间的均匀薄片的质心。,例4 求均匀半球体的质心。,例5求半径为 的均匀半圆,薄片（面密度为常量 ），,对于其直径边的转动惯量。,例6求密度为 的均匀球体,对于过球心的一条轴 的转,动惯量。,例7设物体占有空间闭区域,它在点 外的密度为,，函数 在,上连续，求物体对于物体外,一点 处的单位质,量的质点的引力。,例8设半径为R的物质球占有,空间闭区域,求它对位于,处的单位质量的质点的引力。,
展开阅读全文