[考研数学]北京航天航空大学线性代数 4-4

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节典型例题,从方程组解的理论可以看出,矩阵、向量组与方程组的解之间是相互联系的,. 本节主要是通过一些综合性的例子，把本章以及前几章的内容联系起来.,设,A,是,n,阶方阵，而,A,0,，,试证：存在一个,n,阶方阵,B,0,，,使,AB,=0,的充分必要条件是 |,A,|=0.,证,必要性,利用矩阵的乘法,(分块),则,因为,例1,令,所以有,表明,B,的列向量,B,1,B,2, ,B,n,均为齐次方程组,Ax,=0,的解向量.,又因已知,B,0,，,于是可知,Ax,=0,有非零解.,从而,因已知|,A,|=0 ，,所以齐次方程组,Ax,=0,有非零解，设为,则非零方阵,必满足,AB,=0.,其中,b,i,(,i,=1, 2, ,n,),不全为零.,充分性,本题必要性的反证法证明如下：,假若|,A,|,0,，,则,A,-1,存在. 则由,AB,=0,得,即得,这与题设矛盾，故,设,A,B,均为,m,阶方阵, 试证：若,AB,=0,，,则,R,(,A,)+,R,(,B,),m,.,证,由,AB,=0 ，,若设,则,于是,说明：,m,维向量,B,1,B,2, ,B,m,为齐次方程组,Ax,=0,的,m,个解向量.,例2,设,R,(,A,)=,r m,，,则齐次方程组的基础解系含有,m,-,r,个向量,(,注意到,x,为,m,维向量,),：,于是,B,1,B,2, ,B,m,可由此,m,-,r,个线性无关的解向量线性表出，故,即,得,(若,R,(,A,)=,m,则,Ax,=0,只有零解，此时,B,1,=,B,2,= =,B,m,=0,即,B,=0，,从而,R,(,B,)=0,，,结论依然成立.),例3,试证：若,A,是,n,(,n,2),阶方阵，则,其中,A*,为,A,的伴随矩阵.,证,当,R,(,A,)=,n,时,因为,于是,得,因此,由,得,当,R,(,A,)=,n,-1,时,此时|,A,|=0，,由,AA,*=|,A,|,E,得,AA,*=0 ，,由例,2,结论得,R,(,A,)+,R,(,A*,),n,，,因,R,(,A,)=,n,-1,，,所以,另一方面：由,R,(,A,)=,n,-1,知必有一个,n,-1,阶子式不为零，故,A*,0,，,即,R,(,A,*),1,.,于是得,当,R,(,A,),n,-1,时,此时,A,的,n,-1,阶子式均为零，由,A*,的定义知,A*,=0，,于是得,例4,已知,A,B,C,均为四阶方阵, 且,A,=,BC,R,(,B,)=4,R,(,C,)=2.,若,1,2,3,是齐次方程组,Ax,=0,的解向量，证明,1,2,3,线性相关.,证,因,B,为四阶方阵，所以,B,为满秩矩阵.,而,A=BC,，,故由第二章定理,4.3,的推论,3,得：,则齐次线性方程组,Ax,=0,的基础解系由两个线性无关解向量,1,2,构成。,由已知,1,2,3,均为,Ax,=0,的解向量，必可由,1,2,线性表出，从而,于是,1,2,3,线性相关.,