一元一次方程教材分析及命题技术培训

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,一元一次方程,教材分析及命题技术培训,一、对课本的分析,人教版新课标的主要内容：,1,、一元一次方程的引入、定义、一元一次方程解的定义；等式的性质；,2,、解一元一次方程；,3,、一元一次方程的应用问题。,本章知识结构图：,（,1,）利用一元一次方程解决问题的基本过程,实际问题,数学问题,（一元一次方程）,数学问题的解,(,x=a),实际问题的答案,设未知数,列方程,解方程,检验,本章知识结构图：,（,2,）,本章知识安排的前后顺序,由于教材中列方程解应用题是始终贯穿于全章的主线，对一元一次方程的有关概念和解法的讨论，都是先给出实际问题，然后根据实际问题列出一元一次方程，再进行方程解法（例如移项、合并同类项、去括号、去分母等）的教学，难点过于集中，不利于学生对方程解法的理解和掌握，所以建议应把解决实际问题先往后挪，让学生好好掌握解方程的方法。,本章知识结构图：,（,2,）,本章知识安排的前后顺序,教师用书上的知识结构图：,一元一次方程,等式的性质,结合实际问题讨论解方程（合并与移项）,解一元一次方程的一般步骤,对利用一元一次方程解决实际问题进行进一步探究,实际问题,结合实际问题讨论解方程（去括号与去分母）,本章知识结构图：,（,2,）,本章知识安排的前后顺序,建议修改为：,一元一次方程,等式的性质,方程的解法（合并与移项）,解一元一次方程的一般步骤,利用一元一次方程解决实际问题,简单实际例子,方程的解法（去括号与去分母）,二、教学分析,课时安排：,（一元一次方程预设课时,18,节）,一元一次方程的引入和定义，等式性质：,2,课时,一元一次方程的解法：,6,课时,一元一次方程的应用：,7,课时,汇总或验收：,3,课时,二、教学分析,具体教学建议：,这部分知识在,2010,年中考考试说明中的要求：,方程,：体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；,方程的解,：了解方程的解的概念，经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程，运用方程的解的概念解决相关问题；,一元一次方程,：体会一元一次方程是从实际问题中抽象出的数学模型，感受用数学模型解决问题的思想，会根据实际问题列一元一次方程；,一元一次方程的解法,：经历求一元一次方程的解的过程，理解解法中各个步骤的依据，能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数（无需讨论）的一元一次方程的解；,二、教学分析,课程学习目标：,1,经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步。,2,通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法。,3,了解解方程的基本目标（使方程逐步转化为,x=a,的形式），熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想。,4,能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列出方程表示问题中的等量关系”，体会建立数学模型的思想。,5,通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程（见上图），感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。,1,、方程的定义、等式性质：,课时安排给了,2,节。重点是对方程的认识，等式性质对等式变形时的作用。,对一元一次方程的引入课本上是由实际问题入手，实际上课本对整章内容都是将方程的定义、解方程、应用题混合安排的，这容易使学生在掌握上造成混乱。我个人还是倾向于分开讲，把每个问题都讲透，所以建议一元一次方程的引人可以开门见山。,课本关于方程的引入中还有一个目的是让学生体会代数和算术的不同，这一点可以保留。比如，直接给出问题：什么数的,2,倍与,1,的差等于,3,？如果将“什么数”用字母,x,代替可以列出等式。不仅复习了列代数式，还给出了方程的定义，即：,“含有未知数的等式叫做方程”。,1,、方程的定义、等式性质：,再定义一元一次方程,“只含有一个未知数且未知数的次数是,1,的整式方程”,；直接给出：,使方程成立的未知数的值叫“方程的解”,；只有一个未知数的方程的解也叫,方程的根,；求方程解的过程叫,“解方程”,。,如何解方程是初中代数非常重要的内容，在求出未知数值的过程中，需要理论的支持，要保证每一步变形后得到的新方程的解和原方程的解必须是相同的。用什么做理论支持？可以提醒学生回忆小学学过的等式性质，复习“等式的性质”。,等式性质,1,：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。,等式性质,2,：等式两边乘同一个数、或是除以同一个不为零的数，结果仍相等。,注意等式性质,2,与,1,的区别，方程两边加减的可以是数或式子，而乘除只能是数，不能是式子。,2,、解一元一次方程：,课时安排给了,6,节，重点是能正确解出一元一次方程。,由于绝大部分学生在小学学过解一元一次方程，对方程过程的讲解可以直接进行，并提醒学生每个步骤的依据是等式性质。在一开始讲解如何解方程的时候，建议老师们从简单题入手，不要太着急，把每个步骤带着学生夯实，急于求成有时会埋下隐患。,2,、解一元一次方程：,课时安排给了,6,节，重点是能正确解出一元一次方程。,由于绝大部分学生在小学学过解一元一次方程，对方程过程的讲解可以直接进行，并提醒学生每个步骤的依据是等式性质。在一开始讲解如何解方程的时候，建议老师们从简单题入手，不要太着急，把每个步骤带着学生夯实，急于求成有时会埋下隐患。,常见的错误有：,(1),移项不变号导致错误；,(2),解简易方程时常出现的错误；,(3),去分母时漏乘不含分母的项，尤其项为,1,时；,(4),对方程的本质理解不清，如：解方程：，写成：,原方程,=,，注意关系和关系之间不能用“等号”连接。,(5),错的最多是去括号时的符号运算。,为保证解的正确，在平时练习中最好能养成学生将“解”代回原方程检验的习惯，也可以让学生们自己总结解方程时易犯的错误。,3,、一元一次方程的应用问题：,课时安排给了,7,节，这一部分应该是整章的重点和难点，是以后学习的基础，也是中考的考点，应给予重视。,我认为可以,将应用问题分成两类,：一是依题意列方程解决常规应用题，二是利用一元一次方程解决生活中的实际问题。前者是学生在小学常见的，他们很擅长列算式解决，,后者更加灵活有挑战性，为近几年中考所青睐,。,对于第一类依题意列方程解决常规应用题主要是“通过分析，找出等量关系，列出方程”，但是这种说法太抽象含混，可操作性差，对于较为简单的问题我们可以换种说法：“,分析题目内容，利用一个未知量，依题意用两种方法表达成代数式，中间用等号连接可成方程,”。,找准等量关系是列方程解应用题的重要环节。在教学中要着重分析已知量、未知量之间的关系，善于把握规律，归纳类型，甚至借助形象的图表帮助发现等量关系。,列方程是将等量关系“符号化”,。,3,、一元一次方程的应用问题：,对常规问题可以分以下几部分认识：,（,1,）直接由题目找出等量关系,：,有和差倍分问题、盈亏问题、劳力调配问题、产品配套问题、比赛积分问题等等。这类问题比较简单，等量关系明显、可以直接列方程。,对于这类问题也可以设计一些问题让学生讨论解决，让数学问题更贴近生活。例如：,小明和小宁在课外学习中，用,20,张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身,2,个或者做盒底盖,3,个，现一个盒身和,2,个盒底盖恰好做成一个包装盒，为了充分利用材料，使做成的盒身和底盖正好配套，小明和小宁设计了如下方案：,（方案一）把这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做底盖；,（方案二）先把一张白卡纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖，余下白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做底盖。,想一想，小明和小宁设计的方案是否可行，谁的更好？,3,、一元一次方程的应用问题：,对常规问题可以分以下几部分认识：,（,2,）经典问题：,工程问题：全部工作量,=,各部分工作量之和,=1,；,工作量,=,工作效率,工作时间；,工作效率是工作时间的倒数。,（打字问题、注（排）水问题可类比工程问题分析求解。）,行程问题：相遇问题：相遇时间,速度和,=,路程和；,追及问题：追及时间,速度差,=,被追及距离；,航行问题：顺水速度,=,静水速度,+,水流速度，逆水速度,=,静水速度,水流速度；,顺水速度,+,逆水速度,=2,水流速度（飞行问题与此同类。）,环形跑问题：同向跑相当于追及问题，异向跑相当于相遇问题；,车上（离）桥的问题：与常规行程问题的不同点在于其中有一个物体是静止的（桥）。车上桥指车头接触桥到车尾接触桥的一段过程，所走路程为一个车长；车离桥指车头离开桥到车尾离开桥的一段过程，所走路程为一个车长；车过桥指车头接触桥到车尾离开桥的一段过程，所走路程为一个车长,+,桥长。,3,、一元一次方程的应用问题：,对常规问题可以分以下几部分认识：,（,3,）,探究数的问题：,多位数的表示：如,（,a,、,b,、,c,、,d,均为大于或等于,0,而小于,10,的整数）,年龄问题、探究规律的问题都可以归结成数的问题，要求学生学会用,整体代换,的方法解决数字问题。,例题,1,：一个四位数的首位数字是,7,，如果把首位上的数字放在个位上，那么所得到的新的四位数比原四位数的一半多,3,，求原四位数。,分析：设原四位数的后三位数为,x,，则原四位数为,7,1000+x,，新四位数为,10 x,7,，得方程为：,7,1000+x=2(10 x+7,3),，解之有,x=368,，所求四位数为,7368,。,例题,2,：有一数列，按规律排成是：,1,、,3,、,7,、,11,、,，（,1,）求这数列中第,100,个数；（,2,）,2005,、,2007,是否是这列数的数，若是，是第几个数？若不是，请说明理由。,分析：由数列得一般性规律为,4n,5,，（,1,）当,n=100,时得,395,，（,2,）设,2005,是这数列中的数，则有,4n,5=2005,，解得,n=502.5,，因,502.5,不是整数，故不是数列中的数，同理可以判断,2007,是这个数列中的数，且是第,503,个数。,3,、一元一次方程的应用问题：,对常规问题可以分以下几部分认识：,（,4,）营销和储蓄问题：,打折销售：如进价,a,元、售价,b,元、利润,p,元、利润率,w,，,则有,商品打,x,折是指按定价的 销售；,（,1+,提价的百分数）,原价,=,现价；,销售利润,=,商品售价,商品进价；,储蓄问题：我国从,1999,年底开始征收利息税，即征收所得利息的,20%,，教育储蓄和购买国库券不需要纳利息税，做题时可按题目给的利息税来计算。,利息,=,本金,利率,期数。,纳税问题也属此类，答题要注意分清纳税数额、税率和纳税方式。,3,、一元一次方程的应用问题：,对常规问题可以分以下几部分认识：,（,4,）营销和储蓄问题：,还可以把问题设计成探究问题，比如应用“打折”“讲价”，带出活跃的课堂气氛，让学生感悟数学在生活中的应用。,例如：某服装在销售中只要高出进价的,20%,便可盈利，但商家常以高出进价,50%-100%,标价，若你准备买一件标价为,200,元的服装，应如何还价？,分析：计算进价在,100133,元之间，因商家要保证,20%,的差价，因此在,120160,之间还价。课堂教学可以设计成让学生讨论。,3,、一元一次方程的应用问题：,对常规问题可以分以下几部分认识：,（,5,）等积变形：,在图形形状改变时其,面积,或是,体积,不变。,例,1,：如图，一个长方形恰分成六个正方形，其中最小的正方形面积为,1,，求这个长方形的面积。,分析：设正方形,E,的边长为,x,，则正方形,D,、,C,、,B,的边长分别为（,x+1,）,(x+2),，,(x+3),，原长方形的长为（,3x+1),，宽