利用导数求函数极值

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,利用导数研究函数的极值,高二数学,知识与技能目标,：,理解极大值、极小值的概念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；掌握求可导函数极值的步骤；,过程与方法目标：,多让学生举例说明，培养他们的辨析能力，以及培养他们分析问题和解决问题的能力；,情感、态度与价值观：,通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣.,教学目标,教学重点,：,极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.,教学难点：,对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.,教学重难点,利用函数的导数来研究,函数,y,=,f,(,x,)的单调性这个问题.其基本的步骤为:,求函数的定义域;,求函数的导数,f,(,x,) ;,解不等式,f,(,x,)0得,f,(,x,)的单调递增区间;,解不等式,f,(,x,) ,f,(,x,1,).,(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.,在上节课中,我们是利用函数的导数来研究,函数的单调性的.下面,我们,利用函数的导数来研究,函数的,极值问题,.,由上图可以看出, 在函数取得极值处,如果曲线有切线的话, 则切线是水平的,从而有,f,(,x,) =0 .但反过来不一定.,如函数,y,=,x,3, 在,x,=0处, 曲线的切线是水平的, 但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小.,假设,x,0,使,f,(,x,) =0 .那么在什么情况下,x,0,是,f,(,x,)的极值点呢？,o,a,X,0,0,b,x,y,如上图所示,若,x,0,是,f,(,x,)的极大值点, 则,x,0,两侧附近点的函数值必须小于,f,(,x,0,) . 因此,x,0,的左侧附近,f,(,x,)只能是增函数, 即,f,(,x,) 0;,x,0,的右侧附近,f,(,x,)只能是减函数, 即,f,(,x,) 0.,o,a,X,0,b,x,y,同理, 如上图所示,若,x,0,是,f,(,x,)极小值点,则在,x,0,的左侧附近,f,(,x,)只能是减函数, 即,f,(,x,) 0.,从而我们得出结论,:若,x,0,满足,f,(,x,) =0, 且在,x,0,的两侧的导数异号, 则,x,0,是,f,(,x,)的极值点,f,(,x,0,)是极值,并且如果,f,(,x,)在x,0,两侧满足“左正右负”, 则,x,0,是,f,(,x,)的极大值点,f,(,x,0,)是极大值; 如果,f,(,x,) 在,x,0,两侧满足“左负右正”, 则,x,0,是,f,(,x,)的极小值点,f,(,x,0,)是极小值.,从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0, 并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负; 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.,求函数y=,f,(,x,)的极值f(x,0,)，并判别,f,(,x,0,)是极大(小)值的方法是:,(3) 如果在根,x,0,附近的左侧,f,(,x,) 0, 右侧,f,(,x,) 0, 那么,f,(,x,0,)是,极大值;,(4) 如果在根,x,0,附近的左侧,f,(,x,) 0, 那么,f,(,x,0,)是,极小值.,（1）求导数,f,(,x,);,（2）求方程f(x)=0的所有实数根;,如果在f(x)=0的根x=x,0,的左、右侧，f(x),的符号不变，则f(x,0,)不是极值.,即:f(x)=0的根不一定都是函数的极值点。,由此可见，可导函数f(x)在点x,0,取得极值,的充分必要条件是f(x,0,)=0，且在x,0,左侧,与右侧，f(x)的符号不同。很明显，,f(x,0,)=0是x,0,为极值点的必要条件，,并非充分条件。,注意：,如何求函数的最大（小）值呢？,假设,y,=,f,(,x,)在闭区间,a,，,b,上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在,a,，,b,一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点取得。由于可导函数在区间(,a,，,b,)内的极值只可能在使,f,(,x,)=0的点取得，因此把函数在区间端点的值与区间内使,f,(,x,)=0的点的值作比较，最大者必为函数在,a,，,b,上的最大值，最小者必为最小值。,求函数,y,=,f,(,x,)在,a,，,b,的,最大（小）值,步骤如下：,（1）求函数,f,(,x,)在开区间(,a,，,b,)内所有使,f,(,x,)=0的点；,（2）计算函数,f,(,x,)在区间内使,f,(,x,)=0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。,例1已知函数,y,=,x,3,4,x,+4，,（1）求函数的极值，并画出函数的大致图象；,（2）求函数在区间3，4上的最大值和最小值,解：（1）,y,=(,x,3,4,x,+4)=,x,2,4,=(,x,+2)(,x,2),令,y,=0，解得,x,1,=2，,x,2,=2,x,2,(2,2),2,y,+,0,0,+,y,极大值,极小值,当,x,变化时，,y,，,y,的变化情况如下表:,当,x,=2时，,y,有极大值且,y,极大值,=,当,x,=2时，,y,有极小值且,y,极小值,=,（2）,f,(3)=7，,f,(4)=9 = ，,与极值点的函数值比较得到该函数在区间3，4上,最大值是9 ，,最小值是,例2求,y,=(,x,2,1),3,+1的极值.,解：,y,=6,x,(,x,2,1),2,=6,x,(,x,+1),2,(,x,1),2,令,y,=0解得,x,1,=1，,x,2,=0，,x,3,=1.,当,x,变化时，,y,，,y,的变化情况如下表:,x,(, 1,),1,(1,0),0,(0,1),1,(1, +,),y,0,0,+,0,+,y,无极值,极小值0,无极值,当,x,=0时，,y,有极小值且,y,极小值,=0,例3求函数,y,=,x,4,2,x,2,+5在区间2，2上的最大值与最小值,解：先求导数，得,y,=4,x,3,4,x,令,y,=0 即4,x,3,4,x,=0，,解得,x,1,=1，,x,2,=0，,x,3,=1.,导数,y,的正负以及,f,(2)，,f,(2)如下表：,x,2,(2,1),1,(1,0),0,(0,1),1,(1,2),2,y,0,0,0,y,13,4,5,4,13,从上表知:,当,x,=2时，函数有最大值13，,当,x,=1时，函数有最小值4,1函数,y,=1 +3,x,x,3,有(,),(,A,) 极小值1，极大值1,(,B,) 极小值2，极大值3,(,C,) 极小值2，极大值2,(,D,) 极小值1，极大值3,D,达标练习,2函数,y,(,x,2,1),3,1的极值点是( ),(,A,) 极大值点,x,=1,(,B,) 极大值点,x,=0,(,C,) 极小值点,x,=0,(,D,) 极小值点,x,=1,C,3函数,f,(,x,)=,x, 的极值情况是(,),(,A,) 当,x,=1时取极小值2，但无极大值,(,B,) 当,x,=1时取极大值2，但无极小值,(,C,) 当,x,=1时取极小值2，当,x,=1时取极大值2,(,D,) 当,x,=1时取极大值2，当,x,=1时取极小值2,D,4若函数,y,=,x,3,+,ax,2,bx,27在,x,=3时有极大值，在,x,=1时有极小值，则,a,=,；,b,=,.,3,9,5函数,y,=348,x,x,3,的,极大值是,极小值是,y,|,x,=4,=125,y,|,x,=4,=131,6函数,y,= ，当,x,=,时取得极大值为,；当,x,=,时取得极小值为,.,0,0,2,4,7已知函数,f,(,x,),x,3,+,ax,2,+,bx,a,2,在,x,1处有极值为10，求,a,，,b,的值,a,=4，,b,=11,课堂小结,一、极值的概念,二、 求函数y=,f,(,x,)的极值f(x,0,)，并判别,f,(,x,0,)是极大(小)值的方法是:,课后作业,课本 P99 练习B,1,