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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、,可对角化的概念,二、可对角化的条件,2,矩阵的相似与,对角化,三、对角化的一般方法,定义,1,：设 是 维线性空间,V,的一个线性变换，,如果存在,V,的一个基，使 在这组基下的矩阵为对,角矩阵，则称,线性变换可对角化,.,矩阵，则,称矩阵,A,可对角化,.,定义,2,：矩阵,A,是数域 上的一个 级方阵,.,如果,存在一个 上的 级可逆矩阵 ，使 为对角,一、可对角化的概念,1.,(,定理,7),设 为 维线性空间,V,的一个线性变换，,则 可对角化 有 个线性无关的特征向量,.,证：设 在基 下的矩阵为对角矩阵,则有,二、可对角化的条件,就是 的,n,个线性无关的特征向量,.,三、对角化的一般方法,1,求出矩阵,A,的全部特征值,2,对每一个特征值，求出齐次线性方程组,设 为维线性空间,V,的一个线性变换，,为,V,的一组基，在这组基下的矩阵为,A.,步骤,:,的一个基础解系（此即的属于 的全部线性无关,的特征向量在基下的坐标）,.,3,若全部基础解系所合向量个数之和等于,n,，则,（或矩阵,A,）,可对角化,.,以这些解向量为列，作一个,n,阶方阵,T,，则,T,可逆，是对角矩阵,.,而且,有,n,个线性无关的特征向量从而,T,就是基到基的过渡矩阵,.,下的矩阵为,基变换的过渡矩阵,.,问 是否可对角化,.,在可对角化的情况下，写出,例,1.,设复数域上线性空间,V,的线性变换 在某组基,解：,A,的特征多项式为,得,A,的特征值是,1,、,1,、,1,.,解齐次线性方程组 得,故其基础解系为：,所以，,是的属于特征值,1,的两个线性无关的特征向量,.,再解齐次线性方程组 得,故其基础解系为：,所以，,是 的属于特征值,1,的线性无关的特征向量,.,线性无关，故 可对角化，且,在基 下的矩阵为对角矩阵,即基 到的过渡矩阵为,例,2,.,问,A,是否可对角化？若可，求可逆矩阵,T,，使,为以角矩阵,.,这里,得,A,的特征值是,2,、,2,、,-,4,.,解,:,A,的特征多项式为,对于特征值,2,，求出齐次线性方程组,对于特征值,4,，求出齐次方程组,的一个基础解系,:,（,2,、,1,、,0,），（,1,、,0,、,1,）,的一个基础解系,:,令,则,所以,A,可对角化,.,是对角矩阵（即,D,不可对角化）,.,项式,.,并证明：,D,在任何一组基下的矩阵都不可能,练习：,在 中,求微分变换,D,的特征多,解：在 中取一组基：,则,D,在这组基下的矩阵为,于是,D,的特征值为,0,（,n,重）,.,的系数矩阵的秩为,n,1,，从而方程组的基础解系,故,D,不可对角化,.,又由于对应特征值,0,的齐次线性方程组,只含有一个向量，它小于的维数,n,（,1,）,.,
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