定积分的近似计算

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,实验二,定积分的近似计算,定积分计算的基本公式是牛顿莱布尼兹公式。但当被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利用,近似计算,。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。,本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：,矩形法,、,梯形法,和,抛物线法,。同时介绍,Matlab,计算定积分的相关函数。,问题背景和实验目的,定积分的近似计算,矩形法,梯形法,抛物线法,数值积分的常见算法,主要内容,Matlab,求积分函数,数值积分函数：,trapz,、,quad,、,dblquad,符号积分函数：,int,定积分的定义,定积分的近似,矩形法,n,充分大，,x,充分小,通常我们取,左点法,右点法,中点法,点 可以任意选取，常见的取法有：左端点,右端点 和中点 。,定积分的近似：,步长,节点,矩形法,左点法,右点法,中点法,fuluA.m,矩形法举例,例：,用不同的矩形法计算下面的定积分,(,取,n=100)，,并比较这三种方法的相对误差。,左点法：,右点法：,中点法：,解：,h,=1/n=0.01,x,i,=,i,*,h,a,=0,b,=1,n,=100,(,i,=0,1,2,.,100),理论值：,左点法相对误差：,相对误差分析,矩形法举例,右点法相对误差：,中点法相对误差：,不同的算法有不同的计算精度,有没有更好的近似计算定积分的方法,?,定积分几何意义,曲边小梯形,的面积可以由,直边小梯形,的面积来近似,整个,曲边梯形,的面积,：,梯形法,如果我们,n,等分区间,a,b，,即令：,则,=,梯形公式,梯形法,梯形公式与中点公式有什么区别,?,fuluB.m,解：,=,例：,用梯形法计算下面定积分,(,取,n=100)，,并计算相对误差,梯形法举例,a,=0,b,=1,n,=100,f,(,x,)=1,/,(1+,x,2,),=,h,=1/100=0.01,x,i,=,i,*,h,y,i,=,f,(,x,i,),相对误差：,2,n,等分区间,a,b,，,得,用,抛物线,代替该,直线,，计算精度是否会更好？,计算每个节点上的函数值：,抛物线法,在区间,x,0,x,2,上，用过以下三点,的,抛物线,来近似原函数,f,(,x,),。,设过以上三点的抛物线方程为：,则在区间,x,0,x,2,上，有,y,=,x,2,+,x,+,=,p,1,(,x,),抛物线法,同理可得：,相加即得：,抛物线法,整理后可得：,或,辛卜生,(Simpson),公式,抛物线法公式,抛物线法,fuluC.m,=,例：,用抛物线法计算下面定积分,(,取,n=100)，,并计算相对误差,解：,a,=0,b,=1,n,=100,y,i,=,f,(,x,i,)=1,/,(1+,x,i,2,),抛物线法,相对误差：,矩形法,梯形法,抛物线法,数值积分的常见算法,Matlab,函数,Matlab,求积分函数,数值积分函数：,trapz,、,quad,、,dblquad,符号积分函数：,int,trapz,(x,y),x,为分割点（节点）组成的向量，,y,为被积函数在节点上的函数值组成的向量。,trapz,trapz,梯形法,前面的做法,例：,用梯形法计算下面定积分,(,取,n=100),解：,a,=0,b,=1,n,=100,y,i,=,f,(,x,i,)=1,/,(1+,x,i,2,),x=0:1/100:1;,y=1,./,(1+x,.,2);,trapz(x,y),trapz,函数,trapz(x,1./(1+x.2),trapz,举例,quad,(f,a,b,tol),f,=,f,(,x,),为被积函数，,a,b,为积分区间，,tol,为计算精度,将自变量看成是,向量,不用自己分割积分区间,可以指定计算精度，若不指定，缺省精度是,10,-6,精度越高，函数运行的时间越长,此处的函数,f,是,数值形式,，应该使用数组运算，即：,.*,./,.,.,quad,quad,抛物线法,解：,quad(,1./(1+x.2),0,1),quad(,1./(1+x.2),0,1,1e-10),quad(,1./(1+x.2),0,1,1e-16),函数表达式一定要用,单引号,括起来！,涉及的运算一定要用,数组运算,！,例：,用,quad,计算定积分：,quad,举例,dblquad(f,a,b,c,d,tol),tol,为计算精度，若不指定，则缺省精度为,10,-6,f,可以是：,字符串,；,inline,定义的内联函数；,函数句柄,a,b,是 第一积分变量 的积分区间，,c,d,是 第二积分变量,的积分区间,按字母顺序，大写字母排在小写字母的前面,dblquad,抛物线法计算,二重,积分：,dblquad,f=inline(4*x*y+3*y2);,I=dblquad(f,-1,1,0,2,),f,中关于,第一自变量,的运算是,数组运算,，即把,x,看成是向量，,y,看成是标量。也可以全部采用数组运算,例：,计算二重积分,dblquad,(,inline,(,4*x,*,y+3*x,2,),-1,1,0,2,),dblquad,(,inline,(,4*x,*,y+3*x,.,2,),-1,1,0,2,),X,例：,计算二重积分,dblquad,举例,例：,计算,二重积分,dblquad,(,(x,y),4*x*y+3*x.2,-1,1,0,2),指定,x、y,分别是,第一,和,第二,积分变量,dblquad,(,inline,(,4*x,*,y+3*x,.,2,),-1,1,0,2),被积函数,f,(,x,y,),的另一种定义方法：,匿名函数,dblquad,(,(y,x),4*x*y+3*x.2,-1,1,0,2),下面的命令运行结果和上面的一样吗？,dblquad,举例,int(f,a,b),计算,f,关于,默认自变量,的,定积分,，积分区间为,a,b,。,int(f),计算,f,关于,默认自变量,的,不定积分,。,int(f,v,a,b),计算函数,f,关于自变量,v,的,定积分,，积分区间为,a,b,int(f,v),计算函数,f,关于自变量,v,的,不定积分,findsym(f,1),int,符号积分：,int,例：,用,int,函数计算定积分：,解：,syms x;,f=1/(1+x2);,int(f,x,0,1,),f=sym(1/(1+x2);,int(f,x,0,1,),int(1/(1+x2),x,0,1,),或,int(1/(1+x2),0,1,),或,或,int,举例,double(a),将,a,转化为双精度型，若,a,是字符，则取对应的,ASCII,码,a=3;,double(a),double(a),例：,ans=3,ans=97,相关函数,x=1:,0.001,:2;,y=exp(x.(-2);,trapz(x,y),梯形法：,抛物线法：,quad(exp(x.(-2),1,2,10e-10,),符号积分法：,syms,x,int(exp(x(-2),x,1,2,),例,：,用,Matlab,函数近似计算定积分,数值实验,抛物线法：,dblquad(inline(,x+y2,),0,2,-1,1,),符号积分法：,f=int(,x+y2,y,-1,1,);,int(,f,x,0,2,),数值实验,例,：,用,Matlab,函数近似计算二重积分,