4.3 齐次线性方程组的一般理论

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,齐次线性方程组的一般理论,表示线性方程组,(4.9),的解集,直接验证可得如下的叠加原理,:,本节主要研究齐次线性方程组,(4.9),解集的代数结构问题,.,用,考虑齐次线性方程组,(4.9),命题,4.1,若,则,其中,为任意常数,.,证明思路：,按照线性空间的定义，逐条验证即可。,在实域上构成,一个,定理,4.2,齐次线性方程组,(4.12),的解集,维线性空间,.,定义,4.1,设,是定义在区间,上的一组,维函数向量,.,如果存在一组不全为零的常数,使恒等式,(4.10),在区间,上成立,则称函数向量组,则称函数向量组,上是,线性无关,的,.,换句话说,恒等式,(4.10),在,上成立,当且仅当,在区间,上是,线性相关,的,.,否则,则称函数向量组,在区间,=,在区间,上线性无关,.,例,4.1,函数向量组,在任何区间,上线性无关,.,证明：,要使,即,.,显然,只有当,时,才能使上述恒等式在区间,上成立,.,因此,所给函数向量组,在任何区间,上线性无关,.,例,4.2,个函数向量组,在任何区间,上线性无关,.,上线性相关,则存在不全为零的常数,证明：,假若它们在某一区间,使恒等式,.,成立，于是,.,的多项式,根据代数学基本定理,它在区间,上述左端是次数不超过,上至多有,个零点,因此推出矛盾,.,上的函数向量组的线性相关性和它在每一点,维函数向量可以线性无关,这与,注,1,：,在例,4.2,中显示,个,个,维向量必线性相关的性质恰恰相反,.,由此可见,定义在区间,处的向量组的线性相关性并不一致,.,维线性空间的性质,立刻可得如下齐次线性方程组,(4.9),的通解结构定理,.,注,2,：,此时我们并不要求函数向量组是齐次线性方程组,(4.9),的解,.,根据,定理,4.3,齐次线性方程组,(4.9),在定义区间,上必存在,个线性无关的解,其通解为,(4.11),并且通解包含所有的解,其中,为任意常数,.,证明思路：,只要找到,n,个线性无关解，方程的任何解都,可由它们线性表示即可。,证明,:,取,的一组基,其对应的一组解,(,),将构成解集,的一组基（解的存在唯一性,).,为此只需要证明,在区间,上线性无关即可,.,则由定理,4.1,知,:,必存在线性映射,满足,:,(,).,倘若,.,于是,而由,的线性性质可知,:,所以,由此可得,=,故,在区间,上线性无关,.,因此,为齐次线性方程组,(4.9),的通解,它包含所有的解,.,个线性无关的解所构成的矩阵称为,基解矩阵,记为,定义,基解矩阵,因此,通解结构定理可以写成如下矩阵形式,.,通解为,定理,4.4,齐次线性方程组,(4.9),必存在基解矩阵,并且包含所有的解,其中,为任意,维常向量,.,于是求解问题就转化为求它的基本解组的问题,.,个解,如何有效地判断它们是否线性无关,?,刘维尔公式很好地解决了这个问题,.,对于给定的,定理,4.5,线性齐次方程组,(4.9),的,个解所构成的矩阵,满足刘维尔公式,(4.12),其中,表示矩阵,的迹,表示基解矩阵,的行列式,.,证明,:,对,关于,进行泰勒展开,我们有,由于,所以,.,令,可得,满足一阶线性方程,.,求解即可得,Liouville,公式,.,记,称,为齐次线性方程组,(4.9),的,个解的,朗斯基,(,Wronski,),行列式,.,于是刘维尔公式又可写成,注：,由刘维尔公式知，齐次线性方程组,(4.9),的,n,个解的朗,斯基行列式,在定义区间上只有两种可能,:,恒等于零,或恒不为零。（等于零，对应的,n,个解线性相关；不为零，对应的,n,个解线性无关），关键是看,是否为零。,由此可见,定义在区间,上的解向量组的线性无关性和它在每一点,处的向量组的线性无关性完全一致,.,因此对判断,个解是否线性无关带来极大方便,.,下面我们即得有效判断,个解是否线性无关的实用结果,.,定理,4.6,齐次线性方程组,(4.9),的,个解,是线性无关的充要条件是存在,，使得,;,它们是线性相关的充要条件是存在,，使得,.,在,证明,:,等价于初值向量组,中线性无关,;,同理可证线性相关性,.,中线性无关,;,由,Liouville,公式,它又等价于,个解,在,例,4.3,求,的基解矩阵,并求其通解,.,解,:,系数矩阵,在不含,的任何区间上连续,易求得,因为,(,),所以,即为所求的基解矩阵,.,其通解为,.,的不可去的间断点,.,而定 理,4.6,是在,似乎与定理,4.6,矛盾,.,实际上不矛盾，因为,注意,:,虽然,是,连续的条件下得到的,.,关于基解矩阵,我们有如下性质,.,是齐次线性方程组,(4.9),的基解矩阵,则对任意的非奇异,定理,4.7,（,1,）设,阶方阵,也是齐次线性方程组,(4.9),的基解矩阵,;,所以,证明,:,（,1,）容易验证任何基解矩阵,满足矩阵方程,:,使,阶方阵,（,2,）如果,是齐次线性方程组,(4.9),的另一个基解矩阵,则必存在非奇异的,.,.,并且,所以,也是基解矩阵,;,是基解矩阵,故,（,2,）由于,存在且可微,记,则,是可逆且可微的矩阵,.,只要证明,与,无关即可,即证,.,对,两边求导,有,因此,所以,.,证毕,.,剩下要解决的问题是如何求解基解矩阵,对于变系数线性方程组,没有通有的办法,.,最好能够做到的是如下的降维方法,.,个线性无关的解,定理,4.9,如果已知齐次线性方程组,(4.9),的,则方程组,(4.9),可以降维求解,即只要求解一个,维线性方程组就可以求出全部解,.,详细证明参见附录,4.,这里必须指出,即使在,的情况,如何求出已知一个非零解的问题,也没有通有的方法,.,例如,Riccati,方程,无法用初等积分法求解,.,作未知函数变换,则原方程为,;,令,则,Riccati,方程可写为如下等价的,2,维齐次线性方程组,显然它不可能用初等积分法求解,.,时,则称基解矩阵为,标准基解矩阵,.,则称基解矩阵为齐次线性方程组,(4.9),的状态转移矩阵,记为,如果,;,特别,当,状态转移矩阵有如下的重要性质,.,满足,:,是齐次线性方程组,(4.9),的任意两个基解矩阵,则,定理,4.8,状态转移矩阵,有,;,1,、,2,、,有,;,3,、,设,;,和,;,最后我们简单介绍一个重要的矩阵,状态转移矩阵,4,、任给,齐次线性方程组,(4.9),的解,可表示为,.,时刻的状态,.,其中 解,表示在,时刻的状态,而初值,表示在,表示这两种状态之间的转移,故得名,.,性质,4,可见,性质,3,说明状态转移矩阵惟一取决于系数矩阵,与基解矩阵的选择无关,.,课外作业：,给定方程组,(*),求方程组,(*),的一个基解矩阵；,(2),求方程组,(*),满足初值条件 的解,u,(,t,),、,v,(,t,);,(3),试验证,w,(,t,)=,c,1,u,(,t,)+,c,2,v,(,t,),是方程组,(*),的满足初值条件,的解，其中,c,1,c,2,是任意常数。,课外作业（续）：,Page,216,Ex,2,Page,217,Ex,3,