概率及数理统计ppt课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,直观定义,事件,A,出现的可能性大小,.,统计定义,事件,A,在大量重复试验下,出现的频率的,稳定值,称为该事件的概率,.,古典,定义,；,几何定义,.,1.2,概率的定义及其确定方法,Axiomatize,Definition,1.2.1,概率,的,公理化定义,从,n,个元素中任取,r,个，求取法数,.,排列讲次序，组合不讲次序,.,全排列,：,P,n,=,n,!,0!=1.,重复排列,：,n,r,选排列,：,1.2.2,排列与组合公式,组 合,组合,：,重复组合,：,加法原理,完成某件事情有,n,类途径，在第一类途径中有,m,1,种方法，在第二类途径中有,m,2,种方法，依次类推，在第,n,类途径中有,m,n,种方法，则完成这件事共有,m,1,+,m,2,+,m,n,种不同的方法,.,乘法原理,完成某件事情需先后分成,n,个步骤，做第一步有,m,1,种方法，第二步有,m,2,种方法，依次类推，第,n,步有,m,n,种方法，则完成这件事共有,m,1,m,2,m,n,种不同的方法,.,进行,n,次重复试验,，,记,n,(,A,),为事件,A,的频数，,称 为事件,A,的,频率,.,随机试验可大量重复进行,.,1.2.3,确定概率的频率方法,频率,f,n,(,A,),会稳定于某一常数,(,稳定值,).,用频率的稳定值作为该事件的概率,.,Property,古典方法,设,为样本空间，若,只含有限个样本点,;,每个样本点出现的可能性相等，,则事件,A,的概率为,:,P,(,A,)=,A,中样本点的个数,/,样本点总数,1.2.4,确定概率的古典方法,抛一枚硬币三次,抛三枚硬币一次,1,=(,正正正,),(,反正正,),(,正反正,),(,正正反,),(,正反反,),(,反正反,),(,反反正,),(,反反反,),此样本空间中的样本点,等可能,.,2,=(,三正,),(,二正一反,),(,二反一正,),(,三反,),此样本空间中的样本点,不等可能,.,注 意,n,个人围一圆桌坐，,求甲、乙两人相邻而坐的概率,.,解：,考虑甲先坐好，则乙有,n,-1,个位置可坐，,而“甲乙相邻”只有两种情况，所以,P,(A)=2/(,n,-1,)。,例,1.2.1,n,个人坐成,一排,，,求甲、乙两人相邻而坐的概率,.,(,注意,：,请与上一题作比较,),解：,1),先考虑样本空间的样本点数：,甲先坐、乙后坐，则共有,n,(,n,1),种可能,.,2),甲在两端，则乙与甲相邻共有,2,种可能,.,3),甲在中间,(,n,2),个位置上，则乙左右都可坐，,所以共有,2(,n,2),种可能。由此得所求概率为：,例,1.2.2,解,方法,1,样本空间样本点数为,设,A,=,取的,4,只鞋子中至少有,2,只配成一双,先从,5,双中任取,1,双,从余下的,4,双中任取,2,双,从这,2,双中各任取,1,只,A,=,4,只鞋中恰有,2,只配成一双,4,只鞋恰好配成两双,所求为“至少”或“至多”的问题，用余概公式简单,例,1.2.5,从,5,双不同的鞋中任取,4,只，求这,4,只鞋中至少有,2,只配成一双鞋的概率？,方法,2,取的,4,只鞋子中没有成双的,先从,5,双中任取,4,双,在从这,4,双中各取,1,只,还有其它解法吗？,从,5,双不同的鞋中任取,4,只，求这,4,只鞋中至少有,2,只配成一双鞋的概率？,错在何处？,在用排列组合公式计算古典概型时,必须注意不要重复计数，也不要遗漏,从,5,双不同的鞋中任取,4,只，求这,4,只鞋中至少有,2,只配成一双鞋的概率？,先从,5,双中任取,1,双,从余下的,8,只中任取,2,只,这,2,只鞋有“不成双”和“成双”两种情形,与,5,双中任取一双时已出现“,4,只恰有两双”的情形重复,正确做法,多算了 种,解法,3,同样的,“,4,只配成两双,”,算了两次,P,(,A,),=,1,、在应用古典概型时必须注意,“,等可能性,”,的条件,再次提醒注意：,2,、用排列组合公式计算样本点数时必须注意不要重复计数，也不要遗漏,例,1.2.6,掷两枚骰子出现的点数之和等于,3,的概率,.,解,掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为,2,3,4,12,=,(,1,1,),(,1,2,),(,2,1,),(,1,3,),(,6,6,),2,6,6,3,、,所求为“至少”或“至多”的问题，用余概公式简单,4,、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型,有,n,个人,每个人都以相同的概率,1/,N,(,N,n,),被分在,N,间房的每一间中,求指定的,n,间房中各有一人的概率,.,人,房,4,、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型,有,n,个人，设每个人的生日是任一天的概率为,1/365.,求这,n,(,n,365,),个人的生日互不相同的概率,.,人,任一天,有,n,个旅客,乘火车途经,N,个车,站，设每个人在每站下车的概率为,1/,N,(,N,n,),求指定的,n,个站各有一人下车的概率,.,旅客,车站,某城市每周发生,7,次车祸,假设每天发生车祸的概率相同,.,求每天恰好发生一次车祸的概率,.,车祸,天,分球入箱,N,个产品,，,其中,M,个不合格品,、,N,M,个合格品,.,(,口袋中有,M,个白球,，,N,M,个黑球,),常见模型,(1),不放回抽样,从中不放回任,取,n,个,则此,n,个中有,m,个不合格品的概率为：,此模型又称,超几何模型,.,n,N,m,M,n,m,N,M.,口袋中有,5,个白球、,7,个黑球、,4,个红球,.,从中不放回任,取,3,个,.,求取出的,3,个球为不同颜色的球的概率,.,思 考 题,购买,：,从,01,，,，,35,中选,7,个号码,.,开奖,：,7,个基本号码，,1,个特殊号码,.,彩票问题,幸运,35,选,7,中奖规则,1)7,个基本号码,2)6,个基本号码,+,1,个特殊号码,3)6,个基本号码,4)5,个基本号码,+,1,个特殊号码,5)5,个基本号码,6)4,个基本号码,+,1,个特殊号码,7)4,个基本号码，或,3,个基本号码,+,1,个特殊号码,中奖概率,中所含样本点个数：,将,35,个号分成三类：,7,个基本号码,、,1,个特殊号码,、,27,个无用号码,记,p,i,为中,i,等奖的概率。利用抽样模型得：,中奖概率如下,：,不中奖的概率为,：,p,0,=1,p,1,p,2,p,3,p,4,p,5,p,6,p,7,N,个产品，其中,M,个不合格品,、,N,M,个合格品,.,从中有放回地任,取,n,个,.,则此,n,个中有,m,个不合格品的概率为：,常见模型,(2),返回抽样,条件：,m,n,即,m,=0,1,2,n,.,n,个不同球放入,N,个不同的盒子中,.,每个盒子中所放球数不限,.,求恰有,n,个盒子中各有一球的概率,(,n,N,),常见模型,(3),盒子模型,求,n,个人中至少有两人生日相同的概率,.,看成,n,个球放入,N,=365,个盒子中,.,P,(,至少两人生日相同,)=1,P,(,生日全不相同,),用盒子模型得,：,p,n,=,P,(,至少两人生日相同,)=,生日问题,p,20,=0.4114,p,30,=0.7063,p,50,=0.9704,p,60,=0.9941,下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分别在卧室和书房中自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上。在哪个房间里，小猫停留在黑砖上的概率大？,卧 室,书 房,创设情境,3,：,问题情境,1.2.5,确定,概率的几何方法,若,样本空间,充满某个区域，,其度量,(,长度、面积、体积,),为,S,；,落在,中的任一子区域,A,的概率，,只与子区域的度量,S,A,有关，,而与子区域的位置无关,(,等可能的,).,则事件,A,的概率为,:,P,(,A,)=,S,A,/,S,Uniform Distribution,A,1,BuffonNeedle,Simulation,2,Monte Carlo Method,法国自然哲学家蒲丰,先生经常搞点有趣的,试验给朋友们解闷。,1777,年的一天,蒲丰先生,又在家里为宾客们做一次有趣的试验，他先在,一张白纸上画满了一条条距离相等的平行线。,然后，他抓出一大把小针，每根小针的长度都是平行线之间距离的一半。蒲丰说：,“,请诸位把这些小针一根一根地往纸上随便扔吧。,”,客人们好奇地把小针一根根地往纸上乱扔。最后蒲丰宣布结果：,大家共投针,2212,次，其中与直线相交的就有,704,次。用,704,去除,2212,，得数为,3.142,。,他笑了笑说：,“,这就是圆周率,的近似值。,”,这时众宾客哗然：,“,圆周率,?,这根本和圆沾不上边呀,?,”,蒲丰先生却好像看透了众人的心思，斩钉截铁地说：,“,诸位不用怀疑，这的确就是圆周率,的近似值。你们看，连圆规也不要，就可以求出,的值来。,只要你有耐心，投掷的次数越多，求出的圆周率就越精确。,”,这就是数学史上有名的,“,投针试验,”,。,（更详细的情况参见）,http:/www.cut-the-knot.org/ctk/August2001.shtml,投针试验,法,(1707-1788),a,a,/2,G,g,O,CH1,由蒲丰投针问题知：长为,l,的针与平行线相交的概率为,:,2,l,/,d,.,而实际去做,N,次试验,，,得,n,次针与,平行线相交,，,则频率为,:,n,/,N,.,用频率代替概率得,：,2,l,N,/(,d,n,).,历史上有一些实验数据,.,的,随机模拟,历史上一些学者的计算结果,(,直线距离,a,=1),3.1795,859,2520,0.5419,1925,Reina,3.1415929,1808,3408,0.83,1901,Lazzerini,3.1595,489,1030,0.75,1884,Fox,3.137,382,600,1.0,1860,De Morgan,3.1554,1218,3204,0.6,1855,Smith,3.1596,2532,5000,0.8,1850,Wolf,相交次数,投掷次数,针长,时间,试验者,蒲丰投针问题的推广,平面上画有间隔为,d,的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为,a,b,c,(,均小于,d,),的,三角形,，,求三角形与平行线相交的概率,分析：,三角形与平行线相交有以下三种情况：,1),一个顶点在平行线,上,;,2),一条边与平行线重合,;,3),两条边与平行线相交,.,前两种情况出现的概率为零,.,所以只要去确定两条边与平行线相交的概率,.,解：,记,P,ab,P,ac,P,bc,P,a,P,b,P,c,分别为边,ab,ac,bc,a,b,c,与平行线相交的概率，则所求概率为,p,=,P,(,三角形与平行线相交,),=,P,ab,+,P,ac,+,P,bc,.,由蒲丰投针问题知,P,a,=2,a,/(,d,),P,b,=2,b,/(,d,),P,c,=2,c,/,(,d,),.,因为,P,a,=,P,ab,+,P,ac,P,b,=,P,ab,+,P,bc,P,c,=,P,ac,+,P,bc,所以,P,a,+,P,b,+,P,c,=2(,P,ab,+,P,ac,+,P,bc,),由此得,p,=,P,ab,+,P,ac,+,P,bc,=(,P,a,+,P,b,+,P,c,),/2,=(,a,+,b,+,c,)/(,d,).,