数列通项公式的求法

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数列通项公式的求法,数列的通项公式的定义,:,如果数列,的第,n,项,与,n,之间的函数,关系可以用一个公式来表示,这个公式叫做这个数列的通项公式,即,数列通项公式的求法,主要有,观察法,公式法，另外还有,待定,系数法,;,由数列的递推公式求通项公式法,迭加法,迭乘法,换元法等,.,注意,:,并非每一个数列都可以写出通项公式,数列的通项公式,也,并非是唯一的,.,一、观察法,数列也可以用作下面两个条件结合起来的方法表示,:,(1),给出最初的,n,项或一项,.,(2),给出数列中后面的项用前面的项来表示的公式,这种方法叫做递推法,后者称为该数列的递推公式,.,写出下列数列的一个通项公式,二、公式法,:,写出下列数列的一个通项公式：,三、累差迭加法：基本原理是等差数列推导通项公式。,法一：原数列可写为,1,，,1+2,，,1+2+3,，,1+2+3+4,，,，,故其通项公式为,法二：由已知条件，得,四、迭乘法：基本原理是等比数列推导通项公式。,五、递推法。,（一）已知前,n,项和公式求通项公式,经验证,(1),不包含在,(2),中,所以由,(1)(2),知通项公式为,以上各式相加得到,:,分析：由于给出的递推关系中,混在一起，因而应首先统一,到关于,的递推关系，然后再利用所掌握的方法解之。,法一,（统一为,的递推关系）,法二（统一成关于,的递推关系）,解法一是将,混杂的递推关系统一为关于,的递推关系。,解法二是将,混杂的递推关系统一为,的递推关系。,显然，解法二较简单。,（二）在一个所给的数列递推公式中构造一个由原数列的项通过,换元、代入消元、待定系数等方法组成的新等差或等比数列是常,用方法。（实际上换元，代入消元，待定系数都可以通称为特征,方程法。）,解：依题意，等比数列的递推公式是：,另一数列的递推公式是：,法一,:,递推法,法二,:,换元法一,(,即辅助数列法,),数列,是首项为,2,公比为,2,的等比数列,即,法三,:,换元法二,两式相减得,解：由条件，得,本题的解法是将条件进行适当变形，实现了向等比数列、常数列的,转化。从而使问题得到解决。另外，当得到（,2,）后也可用累加法,解之。,法一：换元法,法二：归纳法,下面用数学归纳法进行证明（略）。,(5),特征根的方法（待定系数法）目的解决是构造新数列中的形式和系数,理论依据是,可假设为,展开得,对比已知条件的系数，可知,解：设存在一个数,可见该数列是首项,公比为,q,的等比数列。即通项为,整理得,（,2,）已知,解：,比较系数得，,于是，,解：由,得,展开比较得：,比较系数得：,比较系数得：,故有：,即至少要进行,4,次这样的手续才满足条件。,