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,第一级标题 黑体,深蓝,28,号,第二级标题 黑体,黑色,24,号,第三级标题 黑体,黑色,20,号,#,大标题 黑体 白色,36,号,第二章 曲 线 论,2.1,正则参数曲线,(,一）、参数曲线,1.,参数曲线：,2.,曲线的参数方程：,一、曲线的参数表示,取定正交标架,中的一条曲线,是一个连续映,称 为,参数曲线,.,几何上，参数曲线,是映射,的像,.,引例：从圆的方程到动点轨迹,.,则曲线上的点,其中,为曲线的,参数,，,(1.1),称为曲线 的,参数方程,.,(,二）、（向量）参数表示实例,例,1.,开椭圆弧的参数表示：,一、曲线的参数表示,例,2.,圆柱螺线,的参数表示：,其中,是常数，,例,3.,曲线,与曲线,同像不同长,.,(,一）、切线方程,由定义可知,二、正则曲线,导数,的,几何意义,：,割线的极限位置就是曲线的,切线,.,称为该曲线的,切向量,.,切线方程为：,如果,则,是该曲线在,处切线的方向向量，,其中,是固定的，,是切线上点的参数，,是切线上点的位置向量,.,(,二）、正则曲线,二、正则曲线,定义,2.1,.,如果曲线 的参数表示,是 阶连续可微的，,则称 是,类曲线,.,的点称为 的,正则点,，否则成为奇点,.,无奇点的 类曲线称为,正则,(,参数,),曲线,.,将,参数增大的方向称为曲线的,正向,.,1.,相关概念：,上述定义与,中直角坐标系的选取无关,.,注：正则,2.,实例,二、正则曲线,例,3.,开椭圆弧,是正则曲线，因,例,4.,圆柱螺线,是正则曲线，因,例,5.,半三次曲线,不是正则曲线,图,2-3,参数方程的连续可微性和曲线的正则性（光滑性）是不同的概念,.,3.,注记,二、正则曲线,注,1.,在一段曲线上 则 为常向量,.,反之，若在 处,则由 的连续性，在 附近，故,奇点总是孤立的,.,注,2.,考察 中,轴的,两种,参数表示：,显然,(1),是正则表示，,(2),不是,.,只要有一,种参数表示是正则的曲线必为正则曲线,.,三、容许的参数变换,曲线的参数,表示不是唯一的,（如上例或,圆周,）,.,2.,保定向的参数变换：,可允许的参数变换在所有正则参数曲线之间建立了一种等价关系,.,等价的正则参数曲线看作是同一条曲线，称为一条正则曲线,.,约定,.,只允许做保持定向参数变换的正则参数曲线的等价类被称为是一,条,有向正则曲线,.,1.,可容许的参数变换：,四、曲线的其他表示,1.,平面曲线的一般方程 和隐式方程,2.,空间曲线的一般方程,（必正则）,和隐式方程,这些方程可以化为参数方程,.,(,习题,4,：正则曲线总可以用一般方程表示,),梯度矩阵秩为,2,习题,2,，,4,.,课外作业：,微分几何 慕课邀请码,
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